Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 20 фев 2018, 16:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти максимум f(a,b,c), где

[math]\boldsymbol{f}(a,b,c) = \frac{ 1 }{ 1 - ab } + \frac{ 1 }{ 1 - bc } + \frac{ 1 }{ 1 - ca }[/math] ,

для [math]\boldsymbol{a} > 0, \boldsymbol{b} > 0, \boldsymbol{c} >[/math] и [math]\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} +
\boldsymbol{c} = 1[/math]
.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 20 фев 2018, 20:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
a=b=c=1/3

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 20 фев 2018, 20:36 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
a=b=c=1/3

Тогда [math]\boldsymbol{f}(a,b,c) = \frac{ 27 }{ 8 }[/math] , но еще надо доказать что это максимум т.е. что нет другая тройка [math]\boldsymbol{a} , b, c[/math] , каторая отвечает на условие задачи и не дает большая стойност функции f! :(
Иначе, пока это только гипотеза , каторая с очень болшая вероятность претендует на решение, но - только гипотеза к этот момент!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 21 фев 2018, 14:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3323
Cпасибо сказано: 239
Спасибо получено:
999 раз в 863 сообщениях
Очков репутации: 272

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
vvvv писал(а):
a=b=c=1/3

Тогда [math]\boldsymbol{f}(a,b,c) = \frac{ 27 }{ 8 }[/math] , но еще надо доказать что это максимум т.е. что нет другая тройка [math]\boldsymbol{a} , b, c[/math] , каторая отвечает на условие задачи и не дает большая стойност функции f! :(
Иначе, пока это только гипотеза , каторая с очень болшая вероятность претендует на решение, но - только гипотеза к этот момент!

Так это решение было найдено методом Лагранжа т.е. найден максимум функции с условием (связью).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 21 фев 2018, 15:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvvv писал(а):
Tantan писал(а):
vvvv писал(а):
a=b=c=1/3

Тогда [math]\boldsymbol{f}(a,b,c) = \frac{ 27 }{ 8 }[/math] , но еще надо доказать что это максимум т.е. что нет другая тройка [math]\boldsymbol{a} , b, c[/math] , каторая отвечает на условие задачи и не дает большая стойност функции f! :(
Иначе, пока это только гипотеза , каторая с очень болшая вероятность претендует на решение, но - только гипотеза к этот момент!

Так это решение было найдено методом Лагранжа т.е. найден максимум функции с условием (связью).

Можно! Я верю Вам! Проблема в том( за что я прошу извинения Вам и всем прочитавшие условия задачи!) что это неравенство дано доказывать школьником одном школе при подготовке для олимпиады в Болгарии! А они функции нескольких переменных и метод неопределенных множителем Лагранжа не изучают! В их специальная подготовка для олимпиадой я определенно знаю, что им рассказывали о Schur's Theorem т.е. , "если [math]\boldsymbol{a} \geqslant 0, \boldsymbol{b} \geqslant 0, \boldsymbol{c} \geqslant 0[/math] действительные чисель, то для [math]\forall r > 0[/math] выпольнено :
[math]a^{r}(a-b)(a-c) + b^{r}(b-c)(b-a) + c^{r}(c-a)(c-b) \geqslant 0[/math]. Я предполагаю что данное неравенство как то связано с этой теореме! Вы одноко ни в чем не виноваты о мою ошибку, для чего еще раз прося Вам для извинения и в качестве какая то компенсация отдам Вам "Спосибо"!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 22 фев 2018, 04:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]ab\leqslant\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =\left(\frac{1-c}{2}\right)^2\Rightarrow \frac{1}{1-ab}\leqslant\frac4{4-(1-c)^2}=\frac4{(1+c)(3-c)}=\frac1{1+c}+\frac1{3-c}[/math]

Так как обе функции [math]\frac1{1+x}[/math] и [math]\frac1{3-x}[/math] выпуклы вниз на отрезке [math][0;1][/math], то для любой из них по неравенству Йенсена имеем

[math]f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)=3f\left(\frac{1}{3}\right)[/math].

Следовательно максимум не больше [math]3\left(\frac{1}{1+\frac13}+\frac{1}{3-\frac13}\right)=\frac{27}8.[/math]

С другой стороны он достигается при [math]a=b=c=\frac13.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 22 фев 2018, 10:37 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
[math]ab\leqslant\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =\left(\frac{1-c}{2}\right)^2\Rightarrow \frac{1}{1-ab}\leqslant\frac4{4-(1-c)^2}=\frac4{(1+c)(3-c)}=\frac1{1+c}+\frac1{3-c}[/math]

Так как обе функции [math]\frac1{1+x}[/math] и [math]\frac1{3-x}[/math] выпуклы вниз на отрезке [math][0;1][/math], то для любой из них по неравенству Йенсена имеем

[math]f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)=3f\left(\frac{1}{3}\right)[/math].

Следовательно максимум не больше [math]3\left(\frac{1}{1+\frac13}+\frac{1}{3-\frac13}\right)=\frac{27}8.[/math]

С другой стороны он достигается при [math]a=b=c=\frac13.[/math]


Ето ближе к школьной програме, чем метод неопределенных множителем Лагранжа.Не знаю они там изучали неравенства Йенсена и Караматы, но они вполне доступны их арсеналом математических знании!
Я приблизился к доказателстве этой задачи при помощи неравенства Шура и надеюс до завтра могу построит его и изложу здесь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 02 мар 2018, 12:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):

Так как обе функции [math]\frac1{1+x}[/math] и [math]\frac1{3-x}[/math] выпуклы вниз на отрезке [math][0;1][/math], то для любой из них по неравенству Йенсена имеем

[math]f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)=3f\left(\frac{1}{3}\right)[/math].


Уважаемы dr Watson ,
Вы заблудились, я то же - поверил и не ПРОВЕРИЛ! Да обе функции [math]\frac1{1+x}[/math] и [math]\frac1{3-x}[/math] выпуклы вниз на отрезке [math][0;1][/math], но для таких функции вовсе не в сила
[math]f(a)+f(b)+f(c)\leqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)[/math] , а наоборот

[math]f(a)+f(b)+f(c) \geqslant 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)[/math]
Для избегании лишних споров смотрите :
Г.М. Фихтенгольц, "Диференциального и интегрального исчисления" т.1, изд. 7, стр. 300-301
Так что Ваше доказательство неверно! Прежде всего надо искать ИСТИНУ!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
dr Watson
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 02 мар 2018, 14:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan
Глобальный максимум равен 27/8 при a=b=c=1/3. Это есть истина, которую я получил методом дифф. исчисления. Поэтому выводы Watson верны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти максимум функции
СообщениеДобавлено: 02 мар 2018, 14:18 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я проверил доказательство dr Watson-а, с использованием неравенства Йенсена. Его вывод абсолютно верен.
Упс, опоздал. Avgust уже успел потвердить это.
Tantan писал(а):
Для избегании лишних споров смотрите :
Г.М. Фихтенгольц, "Диференциального и интегрального исчисления" т.1, изд. 7, стр. 300-301
Это как раз тот случай, когда смотришь в книгу, а видишь ...мда, далеко не истину.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти максимум функции

в форуме Тригонометрия

Tantan

14

531

17 май 2018, 10:42

Найти максимум функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

smkrlim

2

77

19 янв 2024, 10:53

Найти максимум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

aqu_q

8

397

03 фев 2019, 09:40

Найти минимум и максимум функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

youi

3

203

04 янв 2019, 13:43

1)Найти максимум и минимум функции в заданной области

в форуме Дифференциальное исчисление

orilena

2

569

11 май 2015, 15:06

Найти максимум и минимум функции F(x) при заданных ограничен

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

alinayavorskaya1993

1

711

30 янв 2015, 00:03

Найти максимум функции методом золотого сечения

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Agent00x

3

573

30 апр 2018, 15:59

Найти максимум и минимум функции в заданной области

в форуме Дифференциальное исчисление

letuswedge

3

353

07 дек 2017, 20:35

Максимум функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Lyamka

1

336

10 дек 2014, 20:50

Находить максимум функции

в форуме Численные методы

Radius

2

104

14 ноя 2023, 12:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved