Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 02:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 00:34
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую всех любителей математики! Уже второй день не могу разобраться, почему при стремлении длин вложенных отрезков к нулю, в пересечении всех отрезков одна точка? Везде доказывается от обратного. Но может быть такое, что при бесконечном количестве вложенных отрезков, пересечение отрезков вообще пустое множество? Например, мы берем отрезок 0;1 , бесконечно делим его на два, приближаясь к единице. Если мы возьмем точку в любой окрестности единицы за точку, принадлежащую всем отрезкам, то с какого-то номера отрезка мы уйдем правее этой точки. Или эта точка будет 1? Но мы же ее никогда не достигнем.
Тем более тот факт, что сколько бы мы не делили наш отрезок, все равно количество точек всех отрезков бесконечно, а не стремится к 1
Может, мои рассуждения покажутся глупыми, но все же, объясните, в чем я ошибаюсь или что недопонимаю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 02:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 2306
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
293 раз в 284 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для всех бесконечно вложенных отрезков общей будет только точка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 02:33 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 2306
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
293 раз в 284 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Деление отрезка пополам сбивает с толку.

Вложенные отрезки должны сходиться к одной общей точке.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 02:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 2306
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
293 раз в 284 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возьмём точку [math]x_0 \in \left[ a, b \right][/math]


Тогда левые границы вложенных отрезков будут стремиться к точке х0 слева:

[math]x_0 - a_n \to 0[/math]


Правые границы в.отр. будут стремиться к точке х0 справа

[math]b_n - x_0 \to 0[/math]

Где [math]n \to \infty[/math], [math]n \in \mathbb{N}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю sergebsl "Спасибо" сказали:
razdolbay
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 04:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2519
Cпасибо сказано: 404
Спасибо получено:
710 раз в 600 сообщениях
Очков репутации: 127

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
razdolbay писал(а):
Если мы возьмем точку в любой окрестности единицы за точку, принадлежащую всем отрезкам,


Что значит "возьмем"? Не мы выбираем общую точку, а она сама "выбирается" в зависимости от вида вложенных отрезков и определяется ими.


razdolbay писал(а):
Или эта точка будет 1? Но мы же ее никогда не достигнем.


Да, для данной системы вложенных отрезков это будет 1. Точка 1 принадлежит всем отрезкам? Да. Значит она принадлежит их пересечению.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
razdolbay
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 05:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 2306
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
293 раз в 284 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добавлю

Монотонно убывающая последовательность левых границ вложенных отрезков [math]\left\{ a_n \right\}[/math] ограничена сверху х0

[math]\forall n \in \mathbb{N}[/math]: [math]x_0 \geqslant a_n \Leftrightarrow x_0 - a_n \geqslant 0[/math]

Условие вложенности левых границ:
[math]a_n \leqslant a_{n-1} \leqslant a_{n-2} \leqslant \ldots \leqslant a_1 \leqslant x_0[/math]

Монотонно возрастающая последовательность правых границ вложенных отрезков [math]\left\{ b_n \right\}[/math] ограничена снизу х0:

[math]\forall n \in \mathbb{N}[/math]: [math]b_n \geqslant x_0 \Leftrightarrow b_n - x_0 \geqslant 0[/math]

Условие вложенности правых границ ( последовательность):
[math]b_{n} \geqslant b_{n-1} \geqslant b_{n-2} \geqslant \ldots \geqslant b_1 \geqslant x_0[/math]

[math]a_n = a, b_n=b[/math]

Где {n} - последовательность всех натуральных чисел.

или i = {1, 2, 3, ... n, ...}

При соблюдении всех этих условий, исключается любой случай, чтобы х0 оказался за пределами хотя бы одного из вложенных отрезков.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 06:17 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 02:33
Сообщений: 2306
Cпасибо сказано: 164
Спасибо получено:
293 раз в 284 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
***

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 06:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 17632
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1228
Спасибо получено:
3765 раз в 3485 сообщениях
Очков репутации: 712

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
razdolbay
Доказательство теоремы о вложенных отрезках состоит из двух частей. В доказательстве первой части используется аксиома полноты множества действительных чисел. Поэтому такого:
razdolbay писал(а):
Но может быть такое, что при бесконечном количестве вложенных отрезков, пересечение отрезков вообще пустое множество?

не может быть (во множестве действительных чисел! -- смотрите замечание к доказательству).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
razdolbay
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 10:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4108
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
617 раз в 583 сообщениях
Очков репутации: 138

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
razdolbay писал(а):
Но может быть такое, что при бесконечном количестве вложенных отрезков, пересечение отрезков вообще пустое множество?

Тут ключевое слово - отрезок. Пересечение интервалов может.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
razdolbay
 Заголовок сообщения: Re: Вопрос по теореме о вложенных отрезках
СообщениеДобавлено: 14 дек 2017, 10:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 00:34
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
razdolbay писал(а):
Что значит "возьмем"? Не мы выбираем общую точку, а она сама "выбирается" в зависимости от вида вложенных отрезков и определяется ими.

Да, уже разобрался, что в моем примере единица - общая точка для всех отрезков. Просто мысленно ее почему-то не признавал за конец всех отрезков, в этом и ошибка. А точнее, считал, что концы первого отрезка выколоты, поэтому точка должна быть где-то в ее окрестности, из-за этого и предположил, что не можем найти общую точку пересечения всех отрезков

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Два симметрично вложенных квадрата и шарик

в форуме Геометрия

click110100

16

638

13 мар 2015, 21:34

Перебор точек используя три вложенных цикла

в форуме MathCad

George_Smith

1

159

24 ноя 2016, 10:08

Найти дисперсию писем, вложенных в конверты случайно

в форуме Теория вероятностей

TeorVer

2

200

25 сен 2015, 00:45

Уравнение прямой в отрезках

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Lonely_S

12

1115

13 май 2013, 16:00

Уравнение прямой в отрезках

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

star

5

412

21 ноя 2012, 13:51

Координаты точек, лежащих на отрезках

в форуме Геометрия

petrouch

1

91

29 авг 2018, 22:06

Составить уравнение плоскости в отрезках

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Denis_van_halen

1

457

09 ноя 2011, 20:56

Уравнение прямой записать в отрезках и построить её

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

sVa

1

354

20 окт 2012, 16:40

Три задачи по ангему.Нахождение длины высоты.Ур-е в отрезках

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

RFxDiesel

1

367

22 дек 2013, 19:18

Проверить удовлетворение теореме

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

jackystorm

6

262

08 сен 2012, 09:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved