Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Vlad136 |
|
|
[math]f\left( x^{2} \right) - \left( f\left( x \right) \right)^{2} \geqslant \frac{ 1 }{ 4 }[/math] Может ли функция [math]f\left( x \right)[/math] быть возрастающей или убывающей на множестве всех действительных чисел? |
||
Вернуться к началу | ||
sergebsl |
|
|
Я такие задачи вообще не понимаю.
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
sergebsl писал(а): Я такие задачи вообще не понимаю. Здесь, по-моему, нужно воспользоваться определением возрастающей (убывающей) функции и рассмотреть, что будет, если [math]x^2 \geqslant x,[/math] и что будет, если [math]x^2<x.[/math] Заслуживает внимания [math]f(0).[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Vlad136 |
|
|
У меня вот такое доказательство получилось:
Пусть [math]x = 1[/math], тогда [math]f\left( 1 \right) \geqslant \frac{ 1 }{ 4 }+f^{2}\left( 1 \right)[/math]. Возводя неравенство в квадрат, получим [math]f^{2}\left( 1 \right) \geqslant \left( \frac{ 1 }{ 4 } +f^{2}\left( 1 \right) \right)^{2}[/math]. Тогда [math]f\left( 1 \right) \geqslant \frac{ 1 }{ 4 } +\left( \frac{ 1 }{ 4 } +f^{2}\left( x \right) \right)^{2} \geqslant \frac{ 1 }{ 4 } +\left( \frac{ 1 }{ 4 } +\left( \frac{ 1 }{ 4 } +f^{2}\left( 1 \right) \right)^{2} \right)^{2} \geqslant \ldots[/math] Далее рассмотрим последовательность [math]a_{n+1}= \frac{ 1 }{ 4 }+a_{n}^{2}; a_{1}=f\left( 1 \right)[/math] [math]a_{n+1}-a_{n} =\frac{ 1 }{ 4 }+ a_{n}^{2}-a_{n}=\left( a_{n}-\frac{ 1 }{ 2 } \right)^{2} \geqslant 0[/math] В силу первого неравенства каждый член последовательности больше не больше, чем [math]f\left( 1 \right)[/math] и, очевидно, больше нуля. Значит последовательность имеет конечный предел [math]a[/math], равный [math]\frac{ 1 }{2 }[/math] Поскольку [math]a_{n} \leqslant f\left( 1 \right)[/math] и [math]a_{n} \geqslant a_{1}=f\left( 1 \right)[/math], то [math]a_{n}=f\left( 1 \right)[/math]. Тогда [math]f\left( 1 \right)=\frac{ 1 }{ 2 }[/math] Аналогично доказываем, что [math]f\left( 0 \right)=\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Получаем, что функция в двух разных точках принимает одинаковые значения и поэтому имеет хотя бы один экстремум. Как доказать это утверждение, не используя пределы? |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Vlad136 писал(а): У меня вот такое доказательство получилось: Доказательство чего? Из заданного неравенства можно вычислить, что [math]f(0)=f(1)=\frac{1}{2}[/math] и, например, [math]-\frac{1}{2} \leqslant f(-1) \leqslant \frac{1}{2}.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: Vlad136 |
||
Human |
|
|
Vlad136 писал(а): Может ли функция [math]f\left( x \right)[/math] быть возрастающей или убывающей на множестве всех действительных чисел? Все-таки нужно уточнить, что здесь понимается под возрастанием и убыванием. Имеется в виду строгая монотонность или все же нестрогая? Если последнее, то, например, константная функция [math]f(x)=\frac12[/math] удовлетворяет неравенству. Если первое, то ответ на вопрос фактически дал Andy: Andy писал(а): Из заданного неравенства можно вычислить, что [math]f(0)=f(1)=\frac{1}{2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Andy |
||
Andy |
|
|
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Обсуждение. Функция стоимости, функция градиентного спуска
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
152 |
06 май 2021, 15:24 |
|
Функция Коши и функция Грина | 2 |
697 |
21 июн 2016, 16:26 |
|
Функция
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
12 |
926 |
30 июн 2015, 00:21 |
|
Функция
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
0 |
270 |
07 дек 2014, 15:13 |
|
Функция
в форуме Тригонометрия |
3 |
391 |
11 дек 2016, 23:19 |
|
Функция
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
403 |
22 июл 2015, 11:22 |
|
Функция
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
439 |
22 авг 2015, 09:16 |
|
Функция y(x)
в форуме Алгебра |
6 |
300 |
23 сен 2022, 14:10 |
|
Функция
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
2 |
384 |
04 июл 2015, 01:30 |
|
Функция
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
1 |
412 |
19 дек 2018, 21:07 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |