Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функция
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2017, 22:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 ноя 2017, 18:51
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для любого [math]x \in \mathbb{R}[/math] выполняется неравенство
[math]f\left( x^{2} \right) - \left( f\left( x \right) \right)^{2} \geqslant \frac{ 1 }{ 4 }[/math]
Может ли функция [math]f\left( x \right)[/math] быть возрастающей или убывающей на множестве всех действительных чисел?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2017, 00:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
10 дек 2013, 03:33
Сообщений: 1646
Cпасибо сказано: 99
Спасибо получено:
214 раз в 208 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я такие задачи вообще не понимаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2017, 01:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15213
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3347 раз в 3095 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sergebsl писал(а):
Я такие задачи вообще не понимаю.

Здесь, по-моему, нужно воспользоваться определением возрастающей (убывающей) функции и рассмотреть, что будет, если [math]x^2 \geqslant x,[/math] и что будет, если [math]x^2<x.[/math] Заслуживает внимания [math]f(0).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2017, 23:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 ноя 2017, 18:51
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня вот такое доказательство получилось:
Пусть [math]x = 1[/math], тогда [math]f\left( 1 \right) \geqslant \frac{ 1 }{ 4 }+f^{2}\left( 1 \right)[/math].
Возводя неравенство в квадрат, получим [math]f^{2}\left( 1 \right) \geqslant \left( \frac{ 1 }{ 4 } +f^{2}\left( 1 \right) \right)^{2}[/math]. Тогда
[math]f\left( 1 \right) \geqslant \frac{ 1 }{ 4 } +\left( \frac{ 1 }{ 4 } +f^{2}\left( x \right) \right)^{2} \geqslant \frac{ 1 }{ 4 } +\left( \frac{ 1 }{ 4 } +\left( \frac{ 1 }{ 4 } +f^{2}\left( 1 \right) \right)^{2} \right)^{2} \geqslant \ldots[/math]
Далее рассмотрим последовательность [math]a_{n+1}= \frac{ 1 }{ 4 }+a_{n}^{2}; a_{1}=f\left( 1 \right)[/math]
[math]a_{n+1}-a_{n} =\frac{ 1 }{ 4 }+ a_{n}^{2}-a_{n}=\left( a_{n}-\frac{ 1 }{ 2 } \right)^{2} \geqslant 0[/math]
В силу первого неравенства каждый член последовательности больше не больше, чем [math]f\left( 1 \right)[/math] и, очевидно, больше нуля. Значит последовательность имеет конечный предел [math]a[/math], равный [math]\frac{ 1 }{2 }[/math]
Поскольку [math]a_{n} \leqslant f\left( 1 \right)[/math] и [math]a_{n} \geqslant a_{1}=f\left( 1 \right)[/math], то [math]a_{n}=f\left( 1 \right)[/math]. Тогда [math]f\left( 1 \right)=\frac{ 1 }{ 2 }[/math]
Аналогично доказываем, что [math]f\left( 0 \right)=\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. Получаем, что функция в двух разных точках принимает одинаковые значения и поэтому имеет хотя бы один экстремум.
Как доказать это утверждение, не используя пределы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2017, 08:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15213
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3347 раз в 3095 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vlad136 писал(а):
У меня вот такое доказательство получилось:

Доказательство чего?

Из заданного неравенства можно вычислить, что [math]f(0)=f(1)=\frac{1}{2}[/math] и, например, [math]-\frac{1}{2} \leqslant f(-1) \leqslant \frac{1}{2}.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Vlad136
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2017, 13:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4014
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
1779 раз в 1482 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vlad136 писал(а):
Может ли функция [math]f\left( x \right)[/math] быть возрастающей или убывающей на множестве всех действительных чисел?

Все-таки нужно уточнить, что здесь понимается под возрастанием и убыванием. Имеется в виду строгая монотонность или все же нестрогая? Если последнее, то, например, константная функция [math]f(x)=\frac12[/math] удовлетворяет неравенству. Если первое, то ответ на вопрос фактически дал Andy:
Andy писал(а):
Из заданного неравенства можно вычислить, что [math]f(0)=f(1)=\frac{1}{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Andy
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2017, 13:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15213
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3347 раз в 3095 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наверное, уместной будет эта цитата из "Энциклопедии элементарной математики":

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функция Коши и функция Грина

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Anastasiia2801

2

145

21 июн 2016, 17:26

Функция

в форуме Дифференциальное исчисление

Yulashka

3

204

19 мар 2012, 22:19

Функция f(x) = x^(x^(n^x))

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

BJIaquMup

4

423

12 фев 2014, 00:20

ФУнкция

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Elrogwe

8

114

23 апр 2017, 14:34

Функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

olga_budilova

1

155

28 июн 2016, 16:53

Функция

в форуме Дифференциальное исчисление

Ryslannn

4

297

01 апр 2013, 16:12

Функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

xvadimx

1

116

12 май 2015, 19:30

Функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kerim

1

182

27 мар 2015, 10:53

Функция

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Meridit

5

247

18 фев 2015, 22:16

ФУНКЦИЯ у = - х^2+2х+8

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nata88

1

675

26 янв 2013, 00:40


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved