Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Matt Matics |
|
|
Никак не получается доказать по индукции следующее неравенство: [math]1+ \frac{1}{2^2}+ \ldots + \frac{1}{n^2} < \frac{7}{4}[/math] Подскажите, пожалуйста, что тут можно сделать? Нашёл похожий пример у Шеня в брошюре "Математическая индукция", там в правой части неравенства стоит 2, и автор усиливает утверждение, доказывая по индукции, что: [math]1+ \frac{1}{2^2}+ \ldots + \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}[/math] Пробовал аналогично подобрать более сильное утверждение, но не удалось... Спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Доказывайте, что левая часть меньше чем [math]\frac 74 - \frac 1{n+\frac 12}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Можно попробовать так (для n=1 и 2 перед этим проверить непосредственно):
[math]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ 1 }{ k^2 } =\frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\frac{ 1 }{ k^2 } < \frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\frac{ 1 }{ k(k-1) }=[/math] [math]= \frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\left( \frac{ 1 }{ k-1 }-\frac{ 1 }{ k } \right) =...[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Matt Matics |
|
|
venjar, странная штука получается: от суммы [math]\sum_{k=3}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)[/math] остаётся [math]\frac{1}{2}-
\frac{1}{n}[/math], что в конечном итоге приводит к неравенству: [math]\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < \frac{7}{4} - \frac{1}{n}[/math] Хотя видно, что оно нарушается при [math]n=1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Базу можно начать с любого номера. А то что до этого проверить вручную.
То есть, начиная с некоторого [math]n_0[/math] верно более сильное неравенство [math]S<\frac 74-\frac1n[/math], а до этого [math]n_0[/math] проверить вручную исходное неравенство [math]S<\frac 74[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Matt Matics |
|
|
swan, спасибо! Теперь понял, что имел в виду venjar, говоря о проверке.
Хотя полученная цепочка всё равно смущает... Имею в виду [math]\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < \frac{7}{4} - \frac{1}{n}[/math]. Нигде не наврал же вроде... |
||
Вернуться к началу | ||
Matt Matics |
|
|
Всё, разобрался. Для $n=1$ мы проверяем исходное неравенство, а для $n \ge 2$ по индукции доказываем более сильное утверждение. Спасибо!
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать методом математической индукции, что
в форуме Теория вероятностей |
1 |
375 |
14 фев 2016, 21:55 |
|
Доказать методом математической индукции | 2 |
441 |
27 апр 2015, 14:19 |
|
Доказать методом математической индукции
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
577 |
14 фев 2015, 19:26 |
|
Доказать методом математической индукции
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
5 |
771 |
20 янв 2015, 15:07 |
|
Доказать методом математической индукции: | 2 |
250 |
27 дек 2022, 23:11 |
|
Доказать неравенство Методом Математической Индукции
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
4 |
628 |
05 ноя 2015, 20:05 |
|
Доказать методом математической индукции тождество | 32 |
475 |
03 мар 2023, 14:38 |
|
Доказать делимость методом математической индукции
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
7 |
721 |
22 июн 2015, 16:41 |
|
Решить методом математической индукции | 2 |
267 |
26 сен 2015, 23:15 |
|
Методом полной математической индукции докажите | 1 |
273 |
15 мар 2016, 17:18 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |