Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 16:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 16:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Никак не получается доказать по индукции следующее неравенство:

[math]1+ \frac{1}{2^2}+ \ldots + \frac{1}{n^2} < \frac{7}{4}[/math]

Подскажите, пожалуйста, что тут можно сделать?

Нашёл похожий пример у Шеня в брошюре "Математическая индукция", там в правой части неравенства стоит 2, и автор усиливает утверждение, доказывая по индукции, что:

[math]1+ \frac{1}{2^2}+ \ldots + \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}[/math]

Пробовал аналогично подобрать более сильное утверждение, но не удалось...

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 19:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказывайте, что левая часть меньше чем [math]\frac 74 - \frac 1{n+\frac 12}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 20:43 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно попробовать так (для n=1 и 2 перед этим проверить непосредственно):

[math]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ 1 }{ k^2 } =\frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\frac{ 1 }{ k^2 } < \frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\frac{ 1 }{ k(k-1) }=[/math]

[math]= \frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\left( \frac{ 1 }{ k-1 }-\frac{ 1 }{ k } \right) =...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 09:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 16:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, странная штука получается: от суммы [math]\sum_{k=3}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)[/math] остаётся [math]\frac{1}{2}-
\frac{1}{n}[/math]
, что в конечном итоге приводит к неравенству:

[math]\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < \frac{7}{4} - \frac{1}{n}[/math]

Хотя видно, что оно нарушается при [math]n=1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 10:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Базу можно начать с любого номера. А то что до этого проверить вручную.
То есть, начиная с некоторого [math]n_0[/math] верно более сильное неравенство [math]S<\frac 74-\frac1n[/math], а до этого [math]n_0[/math] проверить вручную исходное неравенство [math]S<\frac 74[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 10:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 16:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, спасибо! Теперь понял, что имел в виду venjar, говоря о проверке.

Хотя полученная цепочка всё равно смущает...
Имею в виду [math]\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < \frac{7}{4} - \frac{1}{n}[/math].

Нигде не наврал же вроде...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 12:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 16:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё, разобрался. Для $n=1$ мы проверяем исходное неравенство, а для $n \ge 2$ по индукции доказываем более сильное утверждение. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать методом математической индукции, что

в форуме Теория вероятностей

crosssss

1

375

14 фев 2016, 21:55

Доказать методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

khv

2

441

27 апр 2015, 14:19

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

h8w8

1

577

14 фев 2015, 19:26

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Katrine

5

771

20 янв 2015, 15:07

Доказать методом математической индукции:

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

vldkarpv

2

250

27 дек 2022, 23:11

Доказать неравенство Методом Математической Индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

felmaran

4

628

05 ноя 2015, 20:05

Доказать методом математической индукции тождество

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

llloris

32

475

03 мар 2023, 14:38

Доказать делимость методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Nastya Way

7

721

22 июн 2015, 16:41

Решить методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Isin

2

267

26 сен 2015, 23:15

Методом полной математической индукции докажите

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

PFanthem

1

273

15 мар 2016, 17:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved