Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 17:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 17:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Никак не получается доказать по индукции следующее неравенство:

[math]1+ \frac{1}{2^2}+ \ldots + \frac{1}{n^2} < \frac{7}{4}[/math]

Подскажите, пожалуйста, что тут можно сделать?

Нашёл похожий пример у Шеня в брошюре "Математическая индукция", там в правой части неравенства стоит 2, и автор усиливает утверждение, доказывая по индукции, что:

[math]1+ \frac{1}{2^2}+ \ldots + \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}[/math]

Пробовал аналогично подобрать более сильное утверждение, но не удалось...

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 20:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3130
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
686 раз в 619 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказывайте, что левая часть меньше чем [math]\frac 74 - \frac 1{n+\frac 12}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 17 окт 2017, 21:43 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 20:19
Сообщений: 2235
Cпасибо сказано: 337
Спасибо получено:
616 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 121

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно попробовать так (для n=1 и 2 перед этим проверить непосредственно):

[math]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{ 1 }{ k^2 } =\frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\frac{ 1 }{ k^2 } < \frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\frac{ 1 }{ k(k-1) }=[/math]

[math]= \frac{ 5 }{ 4 }+ \sum\limits_{k=3}^{n}\left( \frac{ 1 }{ k-1 }-\frac{ 1 }{ k } \right) =...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 10:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 17:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, странная штука получается: от суммы [math]\sum_{k=3}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)[/math] остаётся [math]\frac{1}{2}-
\frac{1}{n}[/math]
, что в конечном итоге приводит к неравенству:

[math]\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < \frac{7}{4} - \frac{1}{n}[/math]

Хотя видно, что оно нарушается при [math]n=1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 11:37 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3130
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
686 раз в 619 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Базу можно начать с любого номера. А то что до этого проверить вручную.
То есть, начиная с некоторого [math]n_0[/math] верно более сильное неравенство [math]S<\frac 74-\frac1n[/math], а до этого [math]n_0[/math] проверить вручную исходное неравенство [math]S<\frac 74[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 11:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 17:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, спасибо! Теперь понял, что имел в виду venjar, говоря о проверке.

Хотя полученная цепочка всё равно смущает...
Имею в виду [math]\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} < \frac{7}{4} - \frac{1}{n}[/math].

Нигде не наврал же вроде...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 13:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 17:41
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё, разобрался. Для $n=1$ мы проверяем исходное неравенство, а для $n \ge 2$ по индукции доказываем более сильное утверждение. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Katrine

5

314

20 янв 2015, 16:07

Доказать методом математической индукции, что

в форуме Теория вероятностей

crosssss

1

152

14 фев 2016, 22:55

Доказать методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

khv

2

195

27 апр 2015, 15:19

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Bullgamer

5

585

24 окт 2013, 02:31

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

h8w8

1

224

14 фев 2015, 20:26

Доказать делимость методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Nastya Way

7

316

22 июн 2015, 17:41

Доказать методом математической индукции утверждение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

DMart92

2

298

13 мар 2012, 14:58

Доказать неравенство Методом Математической Индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

felmaran

4

302

05 ноя 2015, 21:05

Доказать методом математической индукции неравенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

lovelybunny

5

1991

03 сен 2012, 20:15

Методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

ilya_56

1

288

01 дек 2012, 21:24


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved