Математический форум Math Help Planet

Так как я впервые на этом форуме, постараюсь кратко и лаконично донести до читателей свои рассуждения по теме заголовка.
Итак, представим, у нас есть самый обычный конус радиусом r, образуещей l (рис.1)


Рассмотрим основание - это окружность (с этим не поспоришь), так вот, длина окружности рассчитывается по стандартной формуле C=2Пr
Зададим некоторое минимальное приращение на отрезке 2Пr и назовем его dx, тогда, если применять формулу для нахождению длины этого отрезка, она будет выглядеть, как 2Пdx (т.к полный оборот по окружности = 2П или 360 градусов, мы работаем в радианах, поэтому 2П).
Следовательно, 2Пr=2Пdx, отсюда dx=dr, где dr - минимальное приращение радиуса окружности, лежащей в основании конуса
Далее рассмотрим образующую l, проведем точно такую же из вершины конуса в некоторую точку, лежащую на отрезке 2Пdr расстоянии dr от точки касания первой образующей(рис. 1.2). Мы видим, что получается криволинейный равнобедренный треугольник с основанием dr и сторонами l. Но т.к отрезок почти незаметен, можно сказать, что высота, проведенная в этом треугольнике, будет делить основание на отрезки, равные dr/2, а образующая будет максимально близка к тому, чтобы занять место высоты h, следовательно мы получаем 2 прямоугольных треугольника с катетами l и dr/2 соответственно.
Найдем площадь этих двух треугольников. По формуле нахождения площади прямоугольного треугольника, мы имеем S=(l*dr/2)/2= l*dr/4, т.к у нас два треугольника, имеем S1+S2=l*dr/2 - это площадь (сейчас все замерли в ожидании чего-то сверхкрутого) палочки l с шириной dr (если так вообще можно сказать).
Тогда найдем площадь поверхности, образованной от вращения этой палочки по окружности, т.е найдем площадь боковой поверхности конуса(рис.2)


Посчитав интеграл, найдем площадь боковой поверхности конуса, какую нам и дают в стандартном виде в школах, вузах и т.д
Что в итоге? Пост сделан в первую очередь для того, чтобы те, кто всерьез разбирается в математике и матанализе в частности,
рассказал мне, как простому ученику 11 класса, правилен ли путь решения, есть ли какие ошибки в ходе всей работы, поскольку я не уверен, что все здесь абсолютно верно. Хоть и формула получается верна, но все-таки. Надеюсь на всевозможную помощь, а не простое закидывание фекалиями, ибо я не ас в интегральном исчислении.
P.S. Идеей создания данного обсуждения явился поиск вывода формулы площади боковой поверхности каких-то геометрических тел( в нашем случае - конуса) через интеграл, поскольку это более серьезный математический аппарат. Но увы, в интернете, как бы я ни искал, ничего похожего не нашел, везде все выводы формулы строятся на разрезании конуса по образующей и нахождения площади сектора. Может и в старых книжках по матану и есть что-то подобное - но это уже для совсем гиков, я лишь поверхностно прошелся по страницам гугла и, не найдя ничего, пришел сюда, дабы рассказать вам о своей маленькой теории(не факт, что верной)
Спасибо за внимание.

Такое решение вполне приемлемо. Но можно еще проще. Пусть dS - элементарная площадка на боковой поверхности конуса. Ее проекция на плоскость основания будет [math]dS_{0}=dSsin \alpha[/math], где [math]sin \alpha =\frac{ r }{ l}[/math] - синус угла наклона dS к основанию. Тогда:

[math]S_{bok}=\int ds =\int \frac{ dS_{0} }{sin \alpha }=\frac{ l }{ r } \pi r^{2}= \pi rl[/math]