Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нахождение площади боковой поверхности конуса через интеграл
СообщениеДобавлено: 10 окт 2017, 22:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 окт 2017, 21:22
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так как я впервые на этом форуме, постараюсь кратко и лаконично донести до читателей свои рассуждения по теме заголовка.
Итак, представим, у нас есть самый обычный конус радиусом r, образуещей l (рис.1)
Изображение

Рассмотрим основание - это окружность (с этим не поспоришь), так вот, длина окружности рассчитывается по стандартной формуле C=2Пr
Зададим некоторое минимальное приращение на отрезке 2Пr и назовем его dx, тогда, если применять формулу для нахождению длины этого отрезка, она будет выглядеть, как 2Пdx (т.к полный оборот по окружности = 2П или 360 градусов, мы работаем в радианах, поэтому 2П).
Следовательно, 2Пr=2Пdx, отсюда dx=dr, где dr - минимальное приращение радиуса окружности, лежащей в основании конуса
Далее рассмотрим образующую l, проведем точно такую же из вершины конуса в некоторую точку, лежащую на отрезке 2Пdr расстоянии dr от точки касания первой образующей(рис. 1.2). Мы видим, что получается криволинейный равнобедренный треугольник с основанием dr и сторонами l. Но т.к отрезок почти незаметен, можно сказать, что высота, проведенная в этом треугольнике, будет делить основание на отрезки, равные dr/2, а образующая будет максимально близка к тому, чтобы занять место высоты h, следовательно мы получаем 2 прямоугольных треугольника с катетами l и dr/2 соответственно.
Найдем площадь этих двух треугольников. По формуле нахождения площади прямоугольного треугольника, мы имеем S=(l*dr/2)/2= l*dr/4, т.к у нас два треугольника, имеем S1+S2=l*dr/2 - это площадь (сейчас все замерли в ожидании чего-то сверхкрутого) палочки l с шириной dr (если так вообще можно сказать).
Тогда найдем площадь поверхности, образованной от вращения этой палочки по окружности, т.е найдем площадь боковой поверхности конуса(рис.2)

Изображение
Посчитав интеграл, найдем площадь боковой поверхности конуса, какую нам и дают в стандартном виде в школах, вузах и т.д
Что в итоге? Пост сделан в первую очередь для того, чтобы те, кто всерьез разбирается в математике и матанализе в частности,
рассказал мне, как простому ученику 11 класса, правилен ли путь решения, есть ли какие ошибки в ходе всей работы, поскольку я не уверен, что все здесь абсолютно верно. Хоть и формула получается верна, но все-таки. Надеюсь на всевозможную помощь, а не простое закидывание фекалиями, ибо я не ас в интегральном исчислении.
P.S. Идеей создания данного обсуждения явился поиск вывода формулы площади боковой поверхности каких-то геометрических тел( в нашем случае - конуса) через интеграл, поскольку это более серьезный математический аппарат. Но увы, в интернете, как бы я ни искал, ничего похожего не нашел, везде все выводы формулы строятся на разрезании конуса по образующей и нахождения площади сектора. Может и в старых книжках по матану и есть что-то подобное - но это уже для совсем гиков, я лишь поверхностно прошелся по страницам гугла и, не найдя ничего, пришел сюда, дабы рассказать вам о своей маленькой теории(не факт, что верной)
Спасибо за внимание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади боковой поверхности конуса через интеграл
СообщениеДобавлено: 11 окт 2017, 10:01 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 393
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
77 раз в 77 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Такое решение вполне приемлемо. Но можно еще проще. Пусть dS - элементарная площадка на боковой поверхности конуса. Ее проекция на плоскость основания будет [math]dS_{0}=dSsin \alpha[/math], где [math]sin \alpha =\frac{ r }{ l}[/math] - синус угла наклона dS к основанию. Тогда:

[math]S_{bok}=\int ds =\int \frac{ dS_{0} }{sin \alpha }=\frac{ l }{ r } \pi r^{2}= \pi rl[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найдите площадь боковой поверхности конуса.

в форуме Геометрия

Alex-J

1

213

22 янв 2012, 18:21

(поверстный интеграл) Найти часть площади конуса

в форуме Интегральное исчисление

djeak11

2

145

03 май 2016, 20:50

1.Определенный интеграл. 2.Нахождение площади

в форуме Интегральное исчисление

Maria_rowan

1

123

07 янв 2014, 20:21

Бауманскаязадача на вычислении площади фигуры через интеграл

в форуме Интегральное исчисление

yamixxa

1

164

10 сен 2015, 20:54

Как изобразить объем конуса в виде площади?

в форуме Палата №6

mishin05

27

1563

25 янв 2013, 05:38

Нахождение объема через тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Skrudj

4

47

29 окт 2017, 09:53

Площадь боковой поверхности пирамиды.

в форуме Геометрия

foxsis

0

430

31 мар 2012, 16:09

Площадь боковой поверхности параллелепипеда

в форуме Геометрия

_Astarta_

1

244

24 фев 2014, 15:18

Площадь боковой поверхности пирамиды

в форуме Геометрия

banality

0

448

16 мар 2013, 23:39

Вычислить площадь боковой поверхности призмы

в форуме Геометрия

xeaton

2

530

26 дек 2011, 19:43


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved