Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Ограниченность функции, непрерывной на полуотрезке
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=31&t=55696
Страница 1 из 1

Автор:  Andy [ 17 сен 2017, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Ограниченность функции, непрерывной на полуотрезке

Пусть [math]f(x)[/math] - функция, непрерывная на полуотрезке [math]\left( a;~b \right],[/math] и [math]f(x) \to c \ne \pm \infty[/math] при [math]x \to a.[/math] Нужно доказать, что функция [math]f(x)[/math] ограничена на полуотрезке [math]\left( a;~b \right].[/math]

"Очевидно", что можно взять функцию [math]g(x),[/math] непрерывную на отрезке [math]\left[ a;~b \right].[/math] Эта функция, согласно первой теореме Вейерштрасса, ограничена на отрезке [math]\left[ a;~b \right].[/math] "Выкалыванием" точки [math]a[/math] получим заданную функцию [math]f(x),[/math] которая остаётся ограниченной.

Как придать этому соображению логическую строгость, нужную для доказательства?

Автор:  dr Watson [ 17 сен 2017, 14:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Ограниченность функции, непрерывной на полуотрезке

Да какая ещё строгость. Всё правильно - если я правильно понял, Ваша функция [math]g[/math] получена из [math]f[/math] доопределением по непрерывности в точке [math]a.[/math] Таким образом, [math]g[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math] и по теореме Вейерштрасса ограничена на нём. На полуотрезке [math]g[/math] совпадает с [math]f[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/