Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Математическая индукция
СообщениеДобавлено: 04 янв 2017, 20:51 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
03 мар 2016, 21:41
Сообщений: 89
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Читаю "Что такое математика?" Куранта и Роббинса и там в главе о принципе математической индукции приведен очень интересный пример в котором доказывается, что любые два положительных целых числах равны.
Приведу отрывок из доказательства так, как там написано:
"через P(n) обозначим следующее утверждение: «Если a и b — два таких целых положительных числа, что max(a, b) = n, то a = b».
a) P(1), очевидно, верно, так как если max(a, b) = 1, то a и b (по предположению — целые положительные числа) должны быть каждое в отдельности равны 1.
б) Предположим, что P(r) верно. Пусть a и b — два таких целых положительных числа, что max(a, b) = r + 1. Рассмотрим числа
A = a − 1, B= b − 1; тогда max(A, B) = r. В таком случае A = B, так как P(r) верно. Но отсюда следует, что a = b; значит, верно и P(r+1).
Итак, по принципу математической индукции P(n) верно при любом n."

Так вот, очевидно, что утверждение P(n) на самом деле неверно, начиная с n равных двум. Спрашивается, где в доказательстве ошибка?
Дело в том, что аналогичный пример я встречал где-то год назад про то, что все люди имеют глаза одинакового цвета и думал что с ним разобрался, но вот сегодня я разобрался окончательно и полностью в себе уверен и просто хотел запостить свое "решение".
В таких доказательствах ошибка находится в месте индукционного перехода(пункт б)
Все начинается с того, что вы уже проверили верность утверждения при n=1(базис индукции) и тем самым читая доказательство второго шага вы мысленно на место n=k представляете какое-то большое число(или небольшое, но уж точно отличное от единицы), а проблема в том, что верность доказываемого утверждения при n=1 и условие вытекаемости из верности этого утверждения при n=1 для n=2 это совсем-совсем-совсем-СОВСЕМ разные вещи!(если вы здесь не поняли о чем я говорю, прочитайте два условия выполнения принципа математической индукции и подставьте вместо n=1 в оба)
Так вот для этого вашего представляемого мысленно большого числа доказательство логически безупречно, да, и все сходится, но стоит подставить вместо n=k единичку и сразу станут видны все логические прорехи в нем , ну сейчас я покажу на двух примерах:
исходный текст, пункт б)
"Предположим, что P(r) верно" (Подразумевается, что r>=1) , ну вот если я возьму я подставлю r=1 в текст получится:
Предположим, что P(1) верно(ну это на самом деле так и есть). Пусть a и b — два таких целых положительных числа, что max(a, b) = 2. Рассмотрим числа
A = a − 1, B= b − 1; тогда max(A, B) = 1(здесь это возможно в том, и только в том случае, когда A=B=1). В таком случае A = B, так как P(1) верно. Но отсюда следует, что a = b; значит, верно и P(2).
Но вот если я возьму числа a=2,b=1(я их взять могу,т.к. для них выполняется max(2,1)=2), то у меня A=1, а B=0, противоречие с тем, что B=1.

Аналогично в доказательстве про людей одинакового цвета надо подставить k=1, получится:
Соберем группу из k+1 человек и пронумеруем их. Так как A(k) предполагаем верным, то люди с номерами 1, ..., k имеют глаза одного цвета, и люди с номерами 2, ..., k + 1 имеют глаза одного цвета. Следовательно, люди с номерами 1, ..., k, k + 1 имеют глаза одного цвета, и Ak + 1 оказывается верным. По принципу математической индукции An верно для любого натурального n.

Соберем группу из 2 человек и пронумеруем их. Так как A(1) предполагаем верным, то человек с номером 1 имеет глаза одного цвета, и человек с номером 2 имеет глаза одного цвета. Следовательно, люди с номерами 1,2 имеют глаза одного цвета, и A(2) оказывается верным. По принципу математической индукции An верно для любого натурального n.

Т.е. в этих доказательствах предполагающихся справедливыми для всех номеров n, ( и в общем-то логически безупречных при n>1), при n=1 не происходит вытекания справедливости утверждения для n=2.

Итог такой:
Для проверки математической индукции нужно, чтобы выполнялись два условия.
1) Утверждение должно быть справедливо при n=1. (И все! необязательно его отдельно проверять при n=2,3 и т.д.)
2) А вот, то, что нужно проверять для ВСЕХ n, так это то, что из справедливости всех (ВКЛЮЧАЯ-включая n=1) вытекает справедливость n+1 (2,3,4 и т.д.)
Надеюсь кому-то это будет полезным, так как я сам в интернете(ни на форумах, ни в википедии) удовлетворительного, корректного на мой взгляд, ответа не нашел, пока сам не допер:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Математическая индукция
СообщениеДобавлено: 04 янв 2017, 22:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
03 мар 2016, 21:41
Сообщений: 89
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
famesyasd писал(а):
Все начинается с того, что вы уже проверили верность утверждения при n=1(базис индукции) и тем самым читая доказательство второго шага вы мысленно на место n=k представляете какое-то большое число(или небольшое, но уж точно отличное от единицы), а проблема в том, что верность доказываемого утверждения при n=1 и условие вытекаемости из верности этого утверждения при n=1 для n=2 это совсем-совсем-совсем-СОВСЕМ разные вещи!(если вы здесь не поняли о чем я говорю, прочитайте два условия выполнения принципа математической индукции и подставьте вместо n=1 в оба)


Это я к тому, почему не очевидна ошибка в доказательстве.
Ведь когда вы читаете второй абзац, вы не представляете единицу, потому что вам кажется, что вы ее уже проверили, но это не так, ведь вы ее проверили, только как верность утверждения, а то, что из нее вытекает верность утверждения с номером два надо отдельно проверять. Теперь, надеюсь, все разберутся в этой теме.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Математическая индукция

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

nad27

2

54

10 дек 2019, 20:26

Математическая индукция

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Blamere

4

556

16 сен 2014, 19:53

Математическая индукция

в форуме Алгебра

elmoreden

1

61

19 окт 2019, 18:49

Математическая индукция

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

emilgerz

3

179

03 дек 2016, 22:11

Математическая индукция, не понимаю шаг

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

K1b0rg

7

911

20 мар 2018, 15:46

Неравенство Бернулли и математическая индукция

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Dank

9

3679

22 дек 2013, 13:53

Математическая индукция. Непонятен момент в примере

в форуме Алгебра

sfanter

1

192

02 май 2016, 09:40

Математическая индукция не совсем тривиальная задача

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Blamere

1

442

22 сен 2014, 08:43

Математическая индукция вопрос про последний этап

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Vitale

1

185

28 мар 2017, 11:19

Математическая индукция (пара вопросов до понимания)

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

zog

4

344

06 сен 2016, 13:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved