Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Математическая индукция (пара вопросов до понимания)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=31&t=50008
Страница 1 из 1

Автор:  zog [ 06 сен 2016, 13:22 ]
Заголовок сообщения:  Математическая индукция (пара вопросов до понимания)

Первый курс, сама тема показалась наилегчайшей, но осталось пару вопросов предположим, что надо доказать:

[math]1+2+3+ \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}[/math] (1)

ок, первый пункт выполняется прекрасно при [math]n=1[/math] т.е имеем [math]1=1[/math]

далее по сути надо заменить [math]n[/math] на[math]k[/math], но нам перподаватель говорил, что этот шаг можно пропустить. в итоге доказываем для[math]n+1[/math]:
[math]1+2+3+ \ldots + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}[/math] (2)

и в доказательстве имеет:

[math]1 + 2 +3 + \ldots +n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)[/math] (3)

А далее все понятно, приводим правую часть к общему знаминателю. Вот мой ворос состоит вот в чем:

1.) почему мы в формуле (2) прибавляем [math]n+1[/math] к левой части и заменяем [math]n[/math] на [math](n+1)[/math] в правой части в дроби, всегда-ли надо так делать? (прибавлять к ряду чисел и заменять значение[math]n[/math]в дробях)
2.) почему мы в формуле (3) сохраняем [math](n+1)[/math] в левой части, а в правой возвращанмся к исходному значению и также прибавляем [math](n+1)[/math] ?

Прошу прощения если вопрос глупый, хочется уяснить один раз и на совсем

Автор:  Anatole [ 06 сен 2016, 14:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)

zog
Из первого Вашего вопроса ясно, что Вы не уяснили саму идею метода индукции.
Идея такая: если какой-либо факт является верным (истинным) на произвольном шаге [math]n=k[/math] и отсюда следует истинность этого факта на следующем шаге, т.е. при [math]n=k+1[/math], то данный факт будет истинным для любого натурального значения [math]n[/math].

В Вашем примере сумма первых [math]k[/math] натуральных чисел может быть вычислена по формуле

[math]\frac{n(n+1)}{2}[/math], где [math]n=k[/math], что является верным (истинным).

Сделаем шаг вперед: вычислим сумму первых [math]k+1[/math] натуральных чисел.

Несложно доказать, что она (сумма первых [math]k+1[/math] натуральных чисел) будет вычисляться по той же формуле, но с учетом, что теперь [math]n=k+1[/math].

Итак,
- формула верна для [math]n=1[/math]
- формула верна для произвольного шага [math]n=k[/math];
- формула верна для шага [math]n=k+1[/math].

Отсюда, согласно Принципу математической индукции следует верность нашей формулы для любого натурального [math]n[/math].

Автор:  Andy [ 06 сен 2016, 14:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)

В данном случае мы проверили, что формула [math](1)[/math] истинна при [math]n=1.[/math] Затем предположили, что она истинна при [math]n=k,[/math] т. е. предположили, что
[math]1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}.~~~(2)[/math]

Теперь мы должны доказать, воспользовавшись истинностью формулы [math](2),[/math] что формула [math](1)[/math] истинна и при [math]n=k+1,[/math] то есть, что
[math]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}.~~~(3)[/math]

Поэтому мы и прибавили к обеим частям формулы [math](2)[/math] слагаемое [math]k+1,[/math] а затем получили формулу [math](3).[/math]

Формулы [math](3)[/math] и [math](1)[/math] структурно одинаковы, что и позволяет нам утверждать, что формула [math](1)[/math] истинна при всех натуральных значениях [math]n.[/math]

Можно найти в Интернете книгу "Что такое математика" Р. Куранта, Г. Роббинса и прочитать там хороший очерк, посвящённый методу математической индукции.

Автор:  Anatole [ 06 сен 2016, 14:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)

Andy
Теперь уж точно кто-то из нас троих, наконец-то, поймет: что такое принцип математической индукции :D1

Автор:  Andy [ 06 сен 2016, 14:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)

Anatole писал(а):
Andy
Теперь уж точно кто-то из нас троих, наконец-то, поймет: что такое принцип математической индукции :D1

Anatole
Пусть им будет автор вопроса. :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/