Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
zog |
|
|
[math]1+2+3+ \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}[/math] (1) ок, первый пункт выполняется прекрасно при [math]n=1[/math] т.е имеем [math]1=1[/math] далее по сути надо заменить [math]n[/math] на[math]k[/math], но нам перподаватель говорил, что этот шаг можно пропустить. в итоге доказываем для[math]n+1[/math]: [math]1+2+3+ \ldots + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}[/math] (2) и в доказательстве имеет: [math]1 + 2 +3 + \ldots +n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)[/math] (3) А далее все понятно, приводим правую часть к общему знаминателю. Вот мой ворос состоит вот в чем: 1.) почему мы в формуле (2) прибавляем [math]n+1[/math] к левой части и заменяем [math]n[/math] на [math](n+1)[/math] в правой части в дроби, всегда-ли надо так делать? (прибавлять к ряду чисел и заменять значение[math]n[/math]в дробях) 2.) почему мы в формуле (3) сохраняем [math](n+1)[/math] в левой части, а в правой возвращанмся к исходному значению и также прибавляем [math](n+1)[/math] ? Прошу прощения если вопрос глупый, хочется уяснить один раз и на совсем |
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
zog
Из первого Вашего вопроса ясно, что Вы не уяснили саму идею метода индукции. Идея такая: если какой-либо факт является верным (истинным) на произвольном шаге [math]n=k[/math] и отсюда следует истинность этого факта на следующем шаге, т.е. при [math]n=k+1[/math], то данный факт будет истинным для любого натурального значения [math]n[/math]. В Вашем примере сумма первых [math]k[/math] натуральных чисел может быть вычислена по формуле [math]\frac{n(n+1)}{2}[/math], где [math]n=k[/math], что является верным (истинным). Сделаем шаг вперед: вычислим сумму первых [math]k+1[/math] натуральных чисел. Несложно доказать, что она (сумма первых [math]k+1[/math] натуральных чисел) будет вычисляться по той же формуле, но с учетом, что теперь [math]n=k+1[/math]. Итак, - формула верна для [math]n=1[/math] - формула верна для произвольного шага [math]n=k[/math]; - формула верна для шага [math]n=k+1[/math]. Отсюда, согласно Принципу математической индукции следует верность нашей формулы для любого натурального [math]n[/math]. Последний раз редактировалось Anatole 06 сен 2016, 14:34, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
В данном случае мы проверили, что формула [math](1)[/math] истинна при [math]n=1.[/math] Затем предположили, что она истинна при [math]n=k,[/math] т. е. предположили, что
[math]1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}.~~~(2)[/math] Теперь мы должны доказать, воспользовавшись истинностью формулы [math](2),[/math] что формула [math](1)[/math] истинна и при [math]n=k+1,[/math] то есть, что [math]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}.~~~(3)[/math] Поэтому мы и прибавили к обеим частям формулы [math](2)[/math] слагаемое [math]k+1,[/math] а затем получили формулу [math](3).[/math] Формулы [math](3)[/math] и [math](1)[/math] структурно одинаковы, что и позволяет нам утверждать, что формула [math](1)[/math] истинна при всех натуральных значениях [math]n.[/math] Можно найти в Интернете книгу "Что такое математика" Р. Куранта, Г. Роббинса и прочитать там хороший очерк, посвящённый методу математической индукции. |
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
Andy
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Anatole писал(а): Andy Anatole |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Пара вопросов по математическому программированию | 0 |
310 |
09 май 2017, 18:13 |
|
Математическая индукция
в форуме Алгебра |
1 |
181 |
19 окт 2019, 18:49 |
|
Математическая индукция | 3 |
273 |
03 дек 2016, 22:11 |
|
Математическая индукция
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
4 |
383 |
28 сен 2021, 09:56 |
|
Математическая индукция 2
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
3 |
277 |
29 сен 2021, 20:46 |
|
Математическая индукция 3
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
223 |
30 сен 2021, 11:30 |
|
Математическая индукция
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
1 |
587 |
04 янв 2017, 20:51 |
|
Математическая индукция
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
4 |
796 |
16 сен 2014, 19:53 |
|
Математическая индукция | 2 |
152 |
10 дек 2019, 20:26 |
|
Математическая индукция, не понимаю шаг
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
7 |
2232 |
20 мар 2018, 15:46 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |