Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)
СообщениеДобавлено: 06 сен 2016, 13:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2016, 13:02
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первый курс, сама тема показалась наилегчайшей, но осталось пару вопросов предположим, что надо доказать:

[math]1+2+3+ \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}[/math] (1)

ок, первый пункт выполняется прекрасно при [math]n=1[/math] т.е имеем [math]1=1[/math]

далее по сути надо заменить [math]n[/math] на[math]k[/math], но нам перподаватель говорил, что этот шаг можно пропустить. в итоге доказываем для[math]n+1[/math]:
[math]1+2+3+ \ldots + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}[/math] (2)

и в доказательстве имеет:

[math]1 + 2 +3 + \ldots +n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)[/math] (3)

А далее все понятно, приводим правую часть к общему знаминателю. Вот мой ворос состоит вот в чем:

1.) почему мы в формуле (2) прибавляем [math]n+1[/math] к левой части и заменяем [math]n[/math] на [math](n+1)[/math] в правой части в дроби, всегда-ли надо так делать? (прибавлять к ряду чисел и заменять значение[math]n[/math]в дробях)
2.) почему мы в формуле (3) сохраняем [math](n+1)[/math] в левой части, а в правой возвращанмся к исходному значению и также прибавляем [math](n+1)[/math] ?

Прошу прощения если вопрос глупый, хочется уяснить один раз и на совсем

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)
СообщениеДобавлено: 06 сен 2016, 14:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2683
Cпасибо сказано: 233
Спасибо получено:
840 раз в 774 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
zog
Из первого Вашего вопроса ясно, что Вы не уяснили саму идею метода индукции.
Идея такая: если какой-либо факт является верным (истинным) на произвольном шаге [math]n=k[/math] и отсюда следует истинность этого факта на следующем шаге, т.е. при [math]n=k+1[/math], то данный факт будет истинным для любого натурального значения [math]n[/math].

В Вашем примере сумма первых [math]k[/math] натуральных чисел может быть вычислена по формуле

[math]\frac{n(n+1)}{2}[/math], где [math]n=k[/math], что является верным (истинным).

Сделаем шаг вперед: вычислим сумму первых [math]k+1[/math] натуральных чисел.

Несложно доказать, что она (сумма первых [math]k+1[/math] натуральных чисел) будет вычисляться по той же формуле, но с учетом, что теперь [math]n=k+1[/math].

Итак,
- формула верна для [math]n=1[/math]
- формула верна для произвольного шага [math]n=k[/math];
- формула верна для шага [math]n=k+1[/math].

Отсюда, согласно Принципу математической индукции следует верность нашей формулы для любого натурального [math]n[/math].


Последний раз редактировалось Anatole 06 сен 2016, 14:34, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)
СообщениеДобавлено: 06 сен 2016, 14:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20137
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1606
Спасибо получено:
4275 раз в 3986 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В данном случае мы проверили, что формула [math](1)[/math] истинна при [math]n=1.[/math] Затем предположили, что она истинна при [math]n=k,[/math] т. е. предположили, что
[math]1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}.~~~(2)[/math]

Теперь мы должны доказать, воспользовавшись истинностью формулы [math](2),[/math] что формула [math](1)[/math] истинна и при [math]n=k+1,[/math] то есть, что
[math]1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}.~~~(3)[/math]

Поэтому мы и прибавили к обеим частям формулы [math](2)[/math] слагаемое [math]k+1,[/math] а затем получили формулу [math](3).[/math]

Формулы [math](3)[/math] и [math](1)[/math] структурно одинаковы, что и позволяет нам утверждать, что формула [math](1)[/math] истинна при всех натуральных значениях [math]n.[/math]

Можно найти в Интернете книгу "Что такое математика" Р. Куранта, Г. Роббинса и прочитать там хороший очерк, посвящённый методу математической индукции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)
СообщениеДобавлено: 06 сен 2016, 14:33 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2683
Cпасибо сказано: 233
Спасибо получено:
840 раз в 774 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Теперь уж точно кто-то из нас троих, наконец-то, поймет: что такое принцип математической индукции :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Математическая индукция (пара вопросов до понимания)
СообщениеДобавлено: 06 сен 2016, 14:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20137
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1606
Спасибо получено:
4275 раз в 3986 сообщениях
Очков репутации: 758

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole писал(а):
Andy
Теперь уж точно кто-то из нас троих, наконец-то, поймет: что такое принцип математической индукции :D1

Anatole
Пусть им будет автор вопроса. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Пара вопросов по разложению в ряд

в форуме Ряды

Pilot77

2

286

09 фев 2014, 12:52

Пара вопросов по переменным

в форуме Mathematica

Speaker87

4

1132

08 ноя 2011, 15:32

Пара вопросов по теории I-набора

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

fastdeath

5

498

26 сен 2012, 18:17

Пара вопросов по математическому программированию

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

AntonCharov

0

220

09 май 2017, 18:13

Математическая индукция

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Blamere

4

569

16 сен 2014, 19:53

Математическая индукция

в форуме Алгебра

elmoreden

1

64

19 окт 2019, 18:49

Математическая индукция

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

nad27

2

60

10 дек 2019, 20:26

Математическая индукция

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

emilgerz

3

182

03 дек 2016, 22:11

Математическая индукция

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

famesyasd

1

293

04 янв 2017, 20:51

Математическая индукция, не понимаю шаг

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

K1b0rg

7

1046

20 мар 2018, 15:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved