Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Число 11...11
СообщениеДобавлено: 27 авг 2012, 21:06 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 авг 2012, 20:55
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток.

Помогите с задачей, пожалуйста.

Число 11...11 (состоящее из нескольких единиц) делится на 7. Докажите, что оно делится и на 13.
---------------------------------------------------------------------------------------------------

Первое число такого вида, которое делится на 7 - это 111111, т.е. 1001*111 = 13*7*11*111. Как дальше рассуждать?

Заранее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Число 11...11
СообщениеДобавлено: 27 авг 2012, 21:50 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2012, 21:42
Сообщений: 275
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
82 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 54

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выпишите просто остатки от деления [math]10^n[/math] на [math]7[/math]. Сразу увидите простую закономерность и окажется, то если 11...1 делится на 7, то оно делится и на 111111.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю AV_77 "Спасибо" сказали:
migirimigi
 Заголовок сообщения: Re: Число 11...11
СообщениеДобавлено: 28 авг 2012, 20:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 авг 2011, 01:47
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
45 раз в 33 сообщениях
Очков репутации: 55

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
11...11
1)
пусть это число состоит из (6k) символов => оно делится на 1001 (доказывается легко, например по индукции)=> делится на 13 и на 7 (1001 = 13*7*11)
2)
если (6k+1) символ => при делении на 7 дает остаток 1 (1=0*7+1)
если (6K+2) символов => при делении на 7 дает остаток 4 (11=1*7+4)
если (6K+3) символов => при делении на 7 дает остаток 6 (111=7*15+6)
если (6K+4) символов => при делении на 7 дает остаток 5 (1111=7*158+5)
если (6K+5) символов => при делении на 7 дает остаток 2 (11111=7*1587+2)
_____________________

значит если число 11...11 делится на 7 то оно состоит из 6k символов => 11...11 делится на 1001=>
=> 11...11 делится на 13
_____________________

11...11 состоит из 6k символов => делится 1001
k=1 верно (111111=1001*100+1001*10+1001)
k=2 верно (111111111111=1001*111*1000000+1001*111)
база индукции верна
предположим k=n верно (назовем число из 6n единиц T, T делится на 1001 по нашему предположению)
тогда при k=n+1 число 11...11 имеет 6n+6 символов
11...11=T*1000000+111111 оба слагаемых делятся на 1001

11...11 из 6k символов делится на 1001

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю eut "Спасибо" сказали:
Alexdemath, migirimigi
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Почему умножение на дробное число уменьшает число?

в форуме Алгебра

IgorSv

11

2028

09 ноя 2015, 14:57

Целое число + его квадрат = четное число. Почему ?

в форуме Алгебра

MaximZag95

2

1043

11 апр 2015, 20:46

Число e

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

igor_vas_rusakov

2

231

05 апр 2021, 17:34

Число Пи

в форуме Размышления по поводу и без

Hoper

19

53255

17 ноя 2018, 12:18

ОТО и число Пи

в форуме Палата №6

O Micron

29

1521

27 окт 2016, 19:19

Число е

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MarkD

4

450

02 июн 2015, 06:26

Число Пи на ЕГЭ

в форуме Алгебра

borchsm8

3

469

01 мар 2022, 20:29

Задуманное число

в форуме Алгебра

Klin

6

211

09 окт 2018, 15:27

30 значное число

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

rusiich

3

399

23 ноя 2017, 13:02

Найти число

в форуме Алгебра

morozoff

13

781

25 сен 2018, 13:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved