Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Любопытная комбинаторная задача из ЕГЭ-2013
СообщениеДобавлено: 25 апр 2020, 20:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7044
Cпасибо сказано: 86
Спасибо получено:
1246 раз в 1174 сообщениях
Очков репутации: 193

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне тут Ютуб подсунул ролик с задачей из ЕГЭ-2013.
а) Сколько существует способов записать число в виде [math]1292=a_3 \cdot 10^3+a_2 \cdot 10^2+a_1 \cdot 10+a_0[/math] , где числа [math]a_i[/math] - целые, [math]0 \leqslant a_i \leqslant 99[/math] , [math]i=0,1,2,3[/math] ?
б) Существуют ли 10 различных чисел [math]N[/math] , что их можно представить виде [math]1292=a_3 \cdot 10^3+a_2 \cdot 10^2+a_1 \cdot 10+a_0[/math] , где числа [math]a_i[/math] - целые, [math]0 \leqslant a_i \leqslant 99[/math] , [math]i=0,1,2,3[/math] ровно 130 способами ?
в) Сколько существует чисел [math]N[/math] , что их можно представить виде [math]1292=a_3 \cdot 10^3+a_2 \cdot 10^2+a_1 \cdot 10+a_0[/math] , где числа [math]a_i[/math] - целые, [math]0 \leqslant a_i \leqslant 99[/math] , [math]i=0,1,2,3[/math] ровно 130 способами ?
Я понял, что мои мозги уже не так быстры, и я бы сейчас решал эту задачу часа два - три. Может кого-то эта задача заинтересует. Сам я пока ролик до конца не смотрел. Попробую сам сначала порешать. Так что следующий раз зайду в эту тему нескоро. Не сегодня точно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная комбинаторная задача из ЕГЭ-2013
СообщениеДобавлено: 25 апр 2020, 21:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7044
Cпасибо сказано: 86
Спасибо получено:
1246 раз в 1174 сообщениях
Очков репутации: 193

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не удержался и зашёл. Для количества различных способов представить число [math]\overline{a_3a_2a_1a_0}[/math] в нужном нам виде по-видимому существует простая формула. У меня пока получилось [math]k=1+a_1+a_2+a_3+a_1a_3[/math] . Но это пока очень предварительно. Возможно формула с ошибками.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная комбинаторная задача из ЕГЭ-2013
СообщениеДобавлено: 25 апр 2020, 21:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7044
Cпасибо сказано: 86
Спасибо получено:
1246 раз в 1174 сообщениях
Очков репутации: 193

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если вдруг формула с предыдущего поста верна, то задачу б) можно переформулировать так. Существуют ли целые решения у уравнения [math](1+a_1)(1+a_3)+a_2=130[/math] ? Очевидно, что да. А задача в) сводится к определению количества целых решений у этого уравнения. Что производится путём простого перебора [math]a_2[/math] . Результат ещё надо умножить на 10 в виду произвольности [math]a_0[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная комбинаторная задача из ЕГЭ-2013
СообщениеДобавлено: 25 апр 2020, 21:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
361 раз в 298 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пункт в) муторный. На а) и б) можно было 1-2 балла заработать.

а) 130.
б) Да.
в) 20.


Последний раз редактировалось FEBUS 25 апр 2020, 21:50, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная комбинаторная задача из ЕГЭ-2013
СообщениеДобавлено: 25 апр 2020, 21:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7044
Cпасибо сказано: 86
Спасибо получено:
1246 раз в 1174 сообщениях
Очков репутации: 193

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
а) 130.

Если это так, то моя формула неверна. Но, поскольку уже поздно, исправлением займусь уже завтра.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Любопытная комбинаторная задача из ЕГЭ-2013
СообщениеДобавлено: 26 апр 2020, 10:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 7044
Cпасибо сказано: 86
Спасибо получено:
1246 раз в 1174 сообщениях
Очков репутации: 193

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Для количества различных способов представить число [math]\overline{a_3a_2a_1a_0}[/math] в нужном нам виде по-видимому существует простая формула. У меня пока получилось [math]k=1+a_1+a_2+a_3+a_1a_3[/math] . Но это пока очень предварительно. Возможно формула с ошибками.

Это я вчера вечером ерунду написал. Причём обозначения путанные - [math]a_i[/math] у нас задействованы для другого. Исправляю:
Для количества различных способов [math]k[/math] представить число [math]b=\overline{b_3b_2b_1b_0}[/math] в нужном нам виде существует простая формула: [math]k=\overline{b_3b_2b_1}+1[/math] . Причём эта формула верна для четырёхзначных чисел. Чего-то с утра никаких мыслей по поводу решения задачи не было. Я уже подумал, что надо написать простенькую программу для нахождения ответа. После того, как я подумал о том, как будет выглядеть программа, решение пришло сразу на ум. Пусть у нас есть массив [math]S_i[/math]. [math]i=0,...,199999[/math]. Обнулим его и будем заполнять его, последовательно прибавляя к некоторым членам по единичке следующим образом. Пусть у нас сначала [math]a_i=0[/math] , [math]i=1,2,3[/math] . Будем менять [math]a_0[/math] последовательно от 0 до 99. Пусть [math]l=a_i[/math] . Добавим к [math]S_l[/math] по единичке. Затем установим [math]a_1[/math] в единицу. И будем снова менять [math]a_0[/math] от 0 до 99. Вычислим [math]l=1000a_3+100a_2+10a_1+a_0[/math]. И будем добавлять по единичке в [math]S_l[/math]. Мы увидим, что первые десять членов массива S останутся единичками, а следующие 90 заполнятся двойками. Дальше будем повторять процесс. Имеем 4 вложенных цикла. Внутри меняется [math]a_0[/math] . Далее [math]a_1,a_2,a_3[/math] . Далее вычислим [math]l=1000a_3+100a_2+10a_1+a_0[/math]. И добавим по единичке в [math]S_l[/math]. В результате массив [math]S[/math] у нас будет заполнен группами последовательных целых чисел. В каждой группе будет по 10 одинаковых чисел. Таким образом, получаем ответ на а): 129+1=130. Ясно, как найти первые 10 цифр с 130 вариантами. Это будет 1290,1291, ...,1299. Таким образом, получили ответ на б). Чтобы получить ответ на в) заметим, что заполнение массива [math]S[/math] будет симметричным. И после некоторого индекса значения в нём будут спадать ровно также, как и росли в начале массива. Отсюда следует, что во второй половине массива ещё найдутся 10 чисел для 130 вариантов (конкретно, это числа 108690,...,108699). То есть ответ на на пункт в) будет 20. На мой взгляд задача сложна для ЕГЭ, учитывая ограниченность времени и общее количество задач.
P.S. Вот, кстати. ролик, который мне подсунул Ютуб: https://www.youtube.com/watch?v=tJic5U_RMGk&t=42s . Буду сейчас смотреть. Интересно. в ту ли сторону я думал?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Любопытная задача. Площади треугольников

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

FEBUS

31

1103

04 сен 2018, 02:58

ЕГЭ 2013. Математика. Задача С4. Гордин Р.К

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

lika01

2

1383

06 фев 2013, 13:17

Комбинаторная задача

в форуме Теория вероятностей

Romaru

7

235

05 авг 2019, 17:45

Простая комбинаторная задача

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Centrin0

10

966

07 фев 2014, 19:41

Непонятная комбинаторная задача

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Jazzman

17

1093

15 июн 2014, 00:02

Комбинаторная задача на перестановки

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Jazzman

5

634

16 июн 2014, 17:25

Комбинаторная задача про футболистов

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Jazzman

2

919

16 июн 2014, 17:12

Комбинаторная задача на сочетания

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Romaru

1

128

10 авг 2019, 22:27

Комбинаторная задача с выборкой шаров из урны

в форуме Теория вероятностей

diofant

5

275

28 июн 2019, 17:45

Количество размещений "кактуса" по n (комбинаторная задача)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Mikhaylo

14

701

26 июн 2015, 05:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot] и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved