Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Шорох орехов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=30&t=61642
Страница 1 из 1

Автор:  lenka44_44 [ 12 сен 2018, 21:54 ]
Заголовок сообщения:  Шорох орехов

Андрей, Богдана и Василий сидят за круглым столом и едят орехи. Сначала все орехи в Андрея. Он делит их поровну между Богданой и Василием, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит те орехи, которые сейчас у него, поровну между соседями, а остаток (если он есть) съедает. Сначала орехов было много (более 3). В некоторый момент времени оказалось, что съели больше половины орехов. Сколько орехов было сначала?

Автор:  Booker48 [ 12 сен 2018, 23:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

del

Автор:  atlakatl [ 13 сен 2018, 08:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

Первоначальные числа до 7 зацикливаются на 3. Только 7 является решением.
Дальше число съеденных орехов d растёт очень медленно:
7, sumEnd=3
10, d=4
11, d=5
27, d=6
43, d=7
107, d=8
171, d=9
427, d=10
683, d=11
1707, d=12
2731, d=13
6827, d=14
10923, d=15
27307, d=16
43691, d=17
109227, d=18
174763, d=19
436907, d=20
699051, d=21
1747627, d=22
2796203, d=23
6990507, d=24
11184811, d=25
27962027, d=26
44739243, d=27
111848107, d=28

Периодичности не наблюдается.
Шуршат орехи
В моих карманах.
Андрею много,
Богдане мало.

Автор:  atlakatl [ 13 сен 2018, 13:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

Приведу для удобства в числовом формате результаты до 32:
10
11
27
43
107
171
427
683
1707
2731
6827
10923
27307
43691
109227
174763
436907
699051
1747627
2796203
6990507
11184811
27962027
44739243
111848107
178956971
447392427
715827883
1789569707
Ничего не замечаете? Начиная с 27 следующий член получают умножением по очереди на 1,6 и 2,5 с округлением в меньшую сторону. Правило железное.
В OEIS такой последовательности нет.

Автор:  lenka44_44 [ 13 сен 2018, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

выходит ответ 7?

Автор:  atlakatl [ 13 сен 2018, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

Выходит так. Доказать его единственность можно, видимо, визуализировав количество съеденных орехов для различных чисел. Тогда мы наглядно увидим, что минимальные числа располагаются именно по закону 1,6-2,5.
А потом и доказательства пути прояснятся.

Автор:  lenka44_44 [ 13 сен 2018, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

Огромное Вам спасибо!

Автор:  ivashenko [ 13 сен 2018, 18:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

---

Автор:  searcher [ 13 сен 2018, 20:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

Можно доказать оценку [math]d \leqslant [\log_2n]+2[/math], где [math]n[/math] - первоначальное число орехов, [math]d[/math] - съеденное число орехов. Если количество орехов у друзей обозначить тройкой [math](n,m,0)[/math] (ноль можно подставить в конец, не теряя общности), то легко видно, что это распределение орехов очень быстро сходится к [math](2n,n,0)[/math] , после чего стабилизируется. В некотором смысле отклонение от такой точки равновесия с каждым ходом уменьшается в два раза, что можно записать как [math](2n+m,n,0) \to (0,2n+m/2,n+m/2)=(0,2(n+m/2)-m/2,n+m/2)[/math] (здесь возможно [math]m<0[/math]) .

Автор:  atlakatl [ 13 сен 2018, 20:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Шорох орехов

searcher
Красиво. Я всё плясал вокруг да около. А оказалось дело в одной строке.
Интересно поведение максимального d в дальнейшем. Оно сначала повторяется через [math]3 \times 2^{d-3}[/math], затем через [math]3 \times 2^{d-4}[/math], ..., 48, 12, 3, 1 - а затем сразу после 1 достигается [math]d+1[/math]. - Т.е. совмещение арифметической и геометрической прогрессий продолжается и здесь.
Найти бы ещё хоть одно проявление этой последовательности - и можно смело подавать её в OEIS.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/