Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Шорох орехов http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=30&t=61642 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | lenka44_44 [ 12 сен 2018, 21:54 ] |
Заголовок сообщения: | Шорох орехов |
Андрей, Богдана и Василий сидят за круглым столом и едят орехи. Сначала все орехи в Андрея. Он делит их поровну между Богданой и Василием, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит те орехи, которые сейчас у него, поровну между соседями, а остаток (если он есть) съедает. Сначала орехов было много (более 3). В некоторый момент времени оказалось, что съели больше половины орехов. Сколько орехов было сначала? |
Автор: | Booker48 [ 12 сен 2018, 23:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
del |
Автор: | atlakatl [ 13 сен 2018, 08:13 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
Первоначальные числа до 7 зацикливаются на 3. Только 7 является решением. Дальше число съеденных орехов d растёт очень медленно: 7, sumEnd=3 10, d=4 11, d=5 27, d=6 43, d=7 107, d=8 171, d=9 427, d=10 683, d=11 1707, d=12 2731, d=13 6827, d=14 10923, d=15 27307, d=16 43691, d=17 109227, d=18 174763, d=19 436907, d=20 699051, d=21 1747627, d=22 2796203, d=23 6990507, d=24 11184811, d=25 27962027, d=26 44739243, d=27 111848107, d=28 Периодичности не наблюдается. Шуршат орехи В моих карманах. Андрею много, Богдане мало. |
Автор: | atlakatl [ 13 сен 2018, 13:00 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
Приведу для удобства в числовом формате результаты до 32: 10 11 27 43 107 171 427 683 1707 2731 6827 10923 27307 43691 109227 174763 436907 699051 1747627 2796203 6990507 11184811 27962027 44739243 111848107 178956971 447392427 715827883 1789569707 Ничего не замечаете? Начиная с 27 следующий член получают умножением по очереди на 1,6 и 2,5 с округлением в меньшую сторону. Правило железное. В OEIS такой последовательности нет. |
Автор: | lenka44_44 [ 13 сен 2018, 16:29 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
выходит ответ 7? |
Автор: | atlakatl [ 13 сен 2018, 17:43 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
Выходит так. Доказать его единственность можно, видимо, визуализировав количество съеденных орехов для различных чисел. Тогда мы наглядно увидим, что минимальные числа располагаются именно по закону 1,6-2,5. А потом и доказательства пути прояснятся. |
Автор: | lenka44_44 [ 13 сен 2018, 18:04 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
Огромное Вам спасибо! |
Автор: | ivashenko [ 13 сен 2018, 18:09 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
--- |
Автор: | searcher [ 13 сен 2018, 20:17 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
Можно доказать оценку [math]d \leqslant [\log_2n]+2[/math], где [math]n[/math] - первоначальное число орехов, [math]d[/math] - съеденное число орехов. Если количество орехов у друзей обозначить тройкой [math](n,m,0)[/math] (ноль можно подставить в конец, не теряя общности), то легко видно, что это распределение орехов очень быстро сходится к [math](2n,n,0)[/math] , после чего стабилизируется. В некотором смысле отклонение от такой точки равновесия с каждым ходом уменьшается в два раза, что можно записать как [math](2n+m,n,0) \to (0,2n+m/2,n+m/2)=(0,2(n+m/2)-m/2,n+m/2)[/math] (здесь возможно [math]m<0[/math]) . |
Автор: | atlakatl [ 13 сен 2018, 20:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Шорох орехов |
searcher Красиво. Я всё плясал вокруг да около. А оказалось дело в одной строке. Интересно поведение максимального d в дальнейшем. Оно сначала повторяется через [math]3 \times 2^{d-3}[/math], затем через [math]3 \times 2^{d-4}[/math], ..., 48, 12, 3, 1 - а затем сразу после 1 достигается [math]d+1[/math]. - Т.е. совмещение арифметической и геометрической прогрессий продолжается и здесь. Найти бы ещё хоть одно проявление этой последовательности - и можно смело подавать её в OEIS. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |