Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 12 сен 2018, 22:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2018, 22:45
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Андрей, Богдана и Василий сидят за круглым столом и едят орехи. Сначала все орехи в Андрея. Он делит их поровну между Богданой и Василием, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит те орехи, которые сейчас у него, поровну между соседями, а остаток (если он есть) съедает. Сначала орехов было много (более 3). В некоторый момент времени оказалось, что съели больше половины орехов. Сколько орехов было сначала?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 00:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 1162
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
207 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
del

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 09:13 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 авг 2018, 00:20
Сообщений: 179
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первоначальные числа до 7 зацикливаются на 3. Только 7 является решением.
Дальше число съеденных орехов d растёт очень медленно:
7, sumEnd=3
10, d=4
11, d=5
27, d=6
43, d=7
107, d=8
171, d=9
427, d=10
683, d=11
1707, d=12
2731, d=13
6827, d=14
10923, d=15
27307, d=16
43691, d=17
109227, d=18
174763, d=19
436907, d=20
699051, d=21
1747627, d=22
2796203, d=23
6990507, d=24
11184811, d=25
27962027, d=26
44739243, d=27
111848107, d=28

Периодичности не наблюдается.
Шуршат орехи
В моих карманах.
Андрею много,
Богдане мало.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю atlakatl "Спасибо" сказали:
lenka44_44
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 14:00 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 авг 2018, 00:20
Сообщений: 179
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приведу для удобства в числовом формате результаты до 32:
10
11
27
43
107
171
427
683
1707
2731
6827
10923
27307
43691
109227
174763
436907
699051
1747627
2796203
6990507
11184811
27962027
44739243
111848107
178956971
447392427
715827883
1789569707
Ничего не замечаете? Начиная с 27 следующий член получают умножением по очереди на 1,6 и 2,5 с округлением в меньшую сторону. Правило железное.
В OEIS такой последовательности нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю atlakatl "Спасибо" сказали:
lenka44_44
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 17:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2018, 22:45
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
выходит ответ 7?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 18:43 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 авг 2018, 00:20
Сообщений: 179
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выходит так. Доказать его единственность можно, видимо, визуализировав количество съеденных орехов для различных чисел. Тогда мы наглядно увидим, что минимальные числа располагаются именно по закону 1,6-2,5.
А потом и доказательства пути прояснятся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю atlakatl "Спасибо" сказали:
lenka44_44
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 19:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2018, 22:45
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Огромное Вам спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 19:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3857
Cпасибо сказано: 290
Спасибо получено:
255 раз в 241 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
---

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 21:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3899
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
580 раз в 550 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно доказать оценку [math]d \leqslant [\log_2n]+2[/math], где [math]n[/math] - первоначальное число орехов, [math]d[/math] - съеденное число орехов. Если количество орехов у друзей обозначить тройкой [math](n,m,0)[/math] (ноль можно подставить в конец, не теряя общности), то легко видно, что это распределение орехов очень быстро сходится к [math](2n,n,0)[/math] , после чего стабилизируется. В некотором смысле отклонение от такой точки равновесия с каждым ходом уменьшается в два раза, что можно записать как [math](2n+m,n,0) \to (0,2n+m/2,n+m/2)=(0,2(n+m/2)-m/2,n+m/2)[/math] (здесь возможно [math]m<0[/math]) .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
atlakatl, lenka44_44
 Заголовок сообщения: Re: Шорох орехов
СообщениеДобавлено: 13 сен 2018, 21:58 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 авг 2018, 00:20
Сообщений: 179
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
26 раз в 26 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Красиво. Я всё плясал вокруг да около. А оказалось дело в одной строке.
Интересно поведение максимального d в дальнейшем. Оно сначала повторяется через [math]3 \times 2^{d-3}[/math], затем через [math]3 \times 2^{d-4}[/math], ..., 48, 12, 3, 1 - а затем сразу после 1 достигается [math]d+1[/math]. - Т.е. совмещение арифметической и геометрической прогрессий продолжается и здесь.
Найти бы ещё хоть одно проявление этой последовательности - и можно смело подавать её в OEIS.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сколькими способами можно распределить 40 одинаковых орехов

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

roma199518

1

696

04 июн 2013, 16:29


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved