Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Процент нулей в произведении множества двузначных
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=30&t=57543
Страница 1 из 1

Автор:  Max Brown [ 25 дек 2017, 22:18 ]
Заголовок сообщения:  Процент нулей в произведении множества двузначных

Задача:
Некто взял изначально единицу и долго множил её на случайным образом взятые двузначные числа: 1*56*34*91*12*... (распределение множителей - равномерное).
Найти: Каков будет средний процент нулей в результате такого умножения?
Что я осилил:
Мне удалось посчитать отношение длины "хвоста" из нулей, выстраивающегося в конце такого произведения, к числу цифр самого произведения. Его длина: 21[math]\slash[/math][math]\sum\limits_{10}^{99}\lg{x}[/math] [math]\approx[/math] 0.139618 от длины всего числа.
"21" в числителе потому, что нуль добавляется к "хвосту" при умножении на двузначное, кратное 5, причём при умножении на кратное 25 добавляется не один нуль, а два.
В чём у меня затык:
Не могу определить, каков средний процент нулей в основной части числа, оставшейся после отсечки "хвоста" из нулей. Я предполагаю, что в основной части, за вычетом первой цифры, заведомо ненулевой (ею при достаточно большой длине числа можно пренебречь), дальше распределение десятичных цифр равномерно. Если так, то там содержится ещё (1-0.139618)/10=0.0860382, т.е., примерно 8.6%, нулей и итоговый ответ - примерно 22.5656% нулей в числе.
Собственно вопрос: Можно ли доказать равномерность распределения десятичных цифр в результате перемножения большого количества случайных двузначных чисел (за вычетом первой цифры, которая точно не ноль, и "хвоста" из нулей в конце числа)?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/