Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 13:21 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неубедительно... Даже странно...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 14:21 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 266
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986, я получил ту же точную формулу. Оценка разности между точным значением и [math]\frac{n!}{e}[/math] дается формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
[math]N = n! \cdot \sum\limits_{k=2}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} = n! \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}[/math].
Пусть [math]S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}[/math].
[math]e^{-1} = S_n + r_n[/math], где [math]r_n = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot e^{- \theta}[/math], [math]0<\theta <1[/math].
[math]\left| r_n \right| < \frac{1}{(n+1)!}[/math], следовательно [math]\left| N - \frac{n!}{e} \right| < \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n}[/math].
Если [math]\left[ x \right][/math] — ближайшее к [math]x[/math] целое, то [math]\left| N - \left[ \frac{n!}{e} \right] \right| < \left| N - \frac{n!}{e} \right| + \left| \left[ \frac{n!}{e} \right] - \frac{n!}{e} \right| < \frac{1}{n} + \frac{1}{2} < 1[/math] при [math]n>2[/math]. Так как сравниваемые числа целые и при [math]n > 2[/math] их разность меньше [math]1[/math], то при [math]n>2[/math] имеем строгое равенство [math]N = \left[ \frac{n!}{e} \right][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
bimol, Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 16:05 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space, большое спасибо!

Маленькая ремарка:
[math]\left| N-\frac{ n! }{ e } \right| < \frac{ n! }{ \left( n+1 \right)! }=\frac{ 1 }{ n+1 } < \frac{ 1 }{ n }[/math].

И вопрос. Почему написано
[math]\left| N-\left[ \frac{ n! }{ e } \right] \right| < \left| N-\frac{ n! }{ e } \right|+\left| \left[ \frac{ n! }{ e } \right]-\frac{ n! }{ e } \right|[/math]
вместо
[math]\left| N-\left[ \frac{ n! }{ e } \right] \right| \leqslant \left| N-\frac{ n! }{ e } \right|+\left| \left[ \frac{ n! }{ e } \right]-\frac{ n! }{ e } \right|[/math]
(строгое неравенство вместо нестрогого)?

Еще раз спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 16:18 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да. Надо еще признаться, что я не пойму, чему равны числа [math]\left[ \frac{ 2n+1 }{ 2 } \right], n \in \mathbb{Z}[/math]. Хотя, среди чисел [math]\frac{ n! }{ e }[/math] полуцелых гарантированно не существует...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 16:57 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 266
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986 писал(а):
Маленькая ремарка:
[math]\left| N-\frac{ n! }{ e } \right| < \frac{ n! }{ \left( n+1 \right)! }=\frac{ 1 }{ n+1 } < \frac{ 1 }{ n }[/math].

Согласен, ошибся. Тогда равенство будет даже при [math]n = 2[/math]. Хотя, это можно было проверить и непосредственно.

Kirill1986 писал(а):
Почему написано
[math]\left| N-\left[ \frac{ n! }{ e } \right] \right| < \left| N-\frac{ n! }{ e } \right|+\left| \left[ \frac{ n! }{ e } \right]-\frac{ n! }{ e } \right|[/math]
вместо
[math]\left| N-\left[ \frac{ n! }{ e } \right] \right| \leqslant \left| N-\frac{ n! }{ e } \right|+\left| \left[ \frac{ n! }{ e } \right]-\frac{ n! }{ e } \right|[/math]
(строгое неравенство вместо нестрогого)?

Просто я еще раз ошибся.

Kirill1986 писал(а):
Надо еще признаться, что я не пойму, чему равны числа [math]\left[ \frac{ 2n+1 }{ 2 } \right], n \in \mathbb{Z}[/math].

Помню из школы, что математическое округление производится в большую по модулю сторону. Хотя, это вопрос договоренности. Есть и другие используемые варианты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 19:57 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
29 мар 2014, 00:59
Сообщений: 3194
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
199 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986 писал(а):
Неубедительно... Даже странно...


Зато неопровержимо и при этом ничего никому не нужно доказывать )))

Раз с этой задачкой на беспорядки разобрались, предлагаю перейти к следующей, а то она уже бедная устала висеть нерешенной, второй год как:

http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=49970&st=0&sk=t&sd=a

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть n людей, каждый со своей шляпой... Задача Эйлера
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 05:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Глубокоуважаемый ivashenko, увы, но у меня действительно нет времени, чтобы ломать голову над каждой оригинальной задачей, предлагаемой на этом форуме. Их здесь немало! На сегодня у меня просто другие планы. Так что удачи Вам и до встречи!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Есть n людей, каждый со своими m тараканами в голове

в форуме Теория вероятностей

ivashenko

0

57

18 сен 2017, 12:51

Задача на рассаживание людей

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

afraumar

5

997

07 апр 2015, 14:25

Задача по рассаживанию людей за круглым столом

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Chestr1

7

340

09 ноя 2016, 11:54

Задача Эйлера

в форуме Maple

Avgust

3

574

04 авг 2013, 09:49

Задача Эйлера

в форуме Объявления участников Форума

wrobel

0

430

16 сен 2015, 17:32

Найти решение уравнения Эйлера или Эйлера-Пуассона для функц

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

NaisVery

12

936

04 дек 2012, 16:41

Задача на уравнение Эйлера

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Gargantua

0

80

10 дек 2016, 02:41

Задача на применение функции Эйлера

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

mathematician

4

427

07 окт 2012, 20:31

Задача мет. Эйлера и Рунге-Кутта

в форуме Численные методы

FiTo

6

476

05 ноя 2013, 13:50

Удаление своей темы

в форуме Предложения, Замечания, Обратная связь

Elizabett2017

8

134

16 май 2017, 14:00


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved