Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 20 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
dexforint |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dexforint "Спасибо" сказали: Xenia1996 |
||
swan |
|
|
Формула включений-исключений.
|
||
Вернуться к началу | ||
ivashenko |
|
|
[math]\left[ \frac{n!}{e} \right][/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали: bimol, Xenia1996 |
||
swan |
|
|
Строго говоря, это неверный результат. Возьмите, например, [math]n=4[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Xenia1996 |
||
ivashenko |
|
|
swan писал(а): Строго говоря, это неверный результат. Возьмите, например, n=4 [math]\left[ \frac{4!}{e} \right]=9[/math] 1234 2341 2413 2143 3142 3412 3421 4123 4312 4321 |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Вообще-то квадратными скобками обозначают целую часть числа и
[math]\left[ \frac {4!} e \right] =8[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Xenia1996 |
||
ivashenko |
|
|
swan писал(а): Вообще-то квадратными скобками обозначают целую часть числа и [math]\left[ \frac {4!} e \right] =8[/math] А что такое тогда \floor? Я склонен придерживаться таких обозначений, как более понятных интуитивно и более логичных. |
||
Вернуться к началу | ||
Kirill1986 |
|
|
Мне не известно, откуда ivashenko взял эту формулу... Совершенно ясно, что приближенно она точно верна. Но откуда точное равенство?! Классическое решение такое.
Обозначим через [math]H=\left\{ 1, 2,..., n \right\}[/math] множество шляп, через [math]P=\left\{ A_{1}, A_{2},..., A_{n} \right\}[/math] - множество людей, причем нижний индекс у [math]A[/math] указывает шляпу, которая соответствует данному [math]A[/math]. Пусть [math]B_{i}[/math] - множество биекций из [math]P[/math] в [math]H[/math], при которых шляпа [math]i[/math] оказывается на человеке [math]A_{i}[/math]. Тогда[math]\bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}[/math] есть множество биекций, при которых хотя бы один человек одевает свою шляпу. Заметим, что множество всех биекций [math]P \mapsto H[/math] есть объединение двух непустых непересекающихся множеств: искомого множества (вернее, его искомой мощности) биекций, при котором ни один человек не одевает свою шляпу, и множества [math]\bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i}[/math] биекций, при котором хотя бы один человек одевает свою шляпу. Найдем сначала мощность последнего (из двух указанных) множеств. По формуле включений-исключений получаем [math]\left|\bigcup\limits_{i=1}^{n}B_{i} \right|=\sum\limits_{i=1}^{n}\left( - 1\right)^{i-1}\sum\limits_{1 \leqslant k_{1} < k_{2} < ... < k_{i} \leqslant n }\left| \bigcap\limits_{l=1}^{i}B_{k_{l} } \right|[/math]. В выписанной сумме [math]n[/math] слагаемых, каждое из которых в свою очередь состоит из [math]C_{n}^{i}[/math] слагаемых (числа [math]k_{1}, k_{2}, ..., k_{i}[/math] из множества [math]H[/math] могут быть выбраны [math]C_{n}^{i}[/math] способами), причем каждое из этих последних (с точностью до знака [math]\left( -1 \right)^{i-1}[/math]) равно [math]\left( n-i \right)![/math] (люди [math]A_{k_{1}}, A_{k_{2}}, ..., A_{k_{i}}[/math] все одевают свои шляпы, а остальные шляпы распределяются произвольно между оставшимися [math]\left( n-i \right)[/math] людьми). Резюмируя, получаем, что количество биекций, при которых хотя бы один человек надевает свою шляпу, равно [math]n!\left( 1-\frac{ 1 }{ 2! }+\frac{ 1 }{ 3! }-...+\left( -1 \right)^{n-1}\frac{ 1 }{ n! } \right)[/math]. Искомое же количество биекций, при которых ни один не надевает своей шляпы, равно разности [math]n![/math] и выписанного выражения, т. е. равно [math]n!\left(\frac{ 1 }{ 2! }-\frac{ 1 }{ 3! }+...+\left( -1 \right)^{n}\frac{ 1 }{ n! }\right)[/math]. Понятно, что по мере роста [math]n[/math] ответ все ближе к [math]\frac{n! }{ e }[/math]. Но откуда, повторюсь, взялось точное равенство [math]\left[ \frac{ n! }{ e } \right][/math]? ivashenko, поделитесь, пожалуйста, с нами своими знаниями. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали: sergebsl |
||
bimol |
|
|
Разница между точным значением и приближенным меньше 1.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю bimol "Спасибо" сказали: Kirill1986 |
||
ivashenko |
|
|
Kirill1986 писал(а): ivashenko, поделитесь, пожалуйста, с нами своими знаниями. Ничего не знаю, эта формула была дана мне Свыше ))) |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 20 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Есть n людей, каждый со своими m тараканами в голове
в форуме Теория вероятностей |
0 |
267 |
18 сен 2017, 11:51 |
|
В.Ф. Чудесенко Задача 18 Вариант 2 На каждый лотерейный
в форуме Теория вероятностей |
0 |
787 |
18 июл 2018, 21:22 |
|
Задача на рассаживание людей
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
5 |
2583 |
07 апр 2015, 13:25 |
|
Задача по рассаживанию людей за круглым столом
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
7 |
1748 |
09 ноя 2016, 10:54 |
|
Задача с рассадкой людей за круглый стол
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
7 |
452 |
20 мар 2022, 14:14 |
|
Удаление своей темы | 8 |
852 |
16 май 2017, 13:00 |
|
Задача Эйлера
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
665 |
16 сен 2015, 16:32 |
|
Задача с кругами эйлера
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
427 |
08 сен 2022, 22:46 |
|
Задача на уравнение Эйлера | 0 |
385 |
10 дек 2016, 01:41 |
|
Выберите все аналитические в своей области определения функц | 2 |
199 |
15 янв 2022, 16:43 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |