Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
K_A |
|
|
Студент выучил половину вопросов (5 из 10). Какова вероятность, что студент ответит хотя бы на один вопрос? Мой ход решения: P(A) - вероятность, что студент ответит на один вопрос из 3-х. [math]\boldsymbol{P}[/math] [math]\left( \boldsymbol{A} \right)[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C} _{5}^{1} \cdot \boldsymbol{C} _{5}^{2}}{ \boldsymbol{C} _{10}^{3} }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ 5 }{ 12 }[/math] P(В) - вероятность, что студент ответит на два вопроса из 3-х. [math]\boldsymbol{P}[/math] [math]\left( \boldsymbol{B} \right)[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C} _{5}^{2} \cdot \boldsymbol{C} _{5}^{1}}{ \boldsymbol{C} _{10}^{3} }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ 5 }{ 12 }[/math] P(С) - вероятность, что студент ответит на три вопроса из 3-х заданных. [math]\boldsymbol{P}[/math] [math]\left( \boldsymbol{C} \right)[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C} _{5}^{3} \cdot \boldsymbol{C} _{5}^{0}}{ \boldsymbol{C} _{10}^{3} }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ 1 }{ 12 }[/math]. Таким образом, [math]\boldsymbol{P}[/math][math]\left( \boldsymbol{A} \right)[/math][math]+[/math][math]\boldsymbol{P}[/math][math]\left( \boldsymbol{B} \right)[/math][math]+[/math][math]\boldsymbol{P}[/math] [math]\left( \boldsymbol{C} \right)[/math][math]+[/math][math]=[/math][math]\frac{ 11 }{ 12 }[/math] Я думала, что смогу получить аналогичный ответ используя формулу условной вероятности: P(ABC)=P(A)*P(B│A)*P(C│AB) = [math]\frac{ \boldsymbol{C}_{5}^{1} \cdot \boldsymbol{C}_{5}^{2}}{ \boldsymbol{C}_{10}^{3}}[/math] [math]\cdot[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C}_{4}^{1} \cdot \boldsymbol{C}_{5}^{1}}{ \boldsymbol{C}_{9}^{2}}[/math] [math]\cdot[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C}_{3}^{1} \cdot \boldsymbol{C}_{5}^{0}}{ \boldsymbol{C}_{8}^{1}}[/math] [math]=[/math] ответ не сходится с (11/12) Интуитивно понимаю, что в последнем случае перемножение некорректно, так как Р(АВС) - вероятность наступления трех событий одновременно ... к вопросу "хотя бы" не подходит. Где у меня ошибка? Я хотела бы научиться решать подобные задачи с помощью условной вероятности. Получается к подобного рода задачам условную вероятность применить нельзя .... |
||
Вернуться к началу | ||
Xmas |
|
|
Попробуйте посчитать вместо этого вероятность "ненаступления" трёх событий одновременно - неответ на один вопрос "И" неответ на два вопроса "И" неответ на три вопроса. Они как раз могут наступать одновременно.
Получите вероятность полного "неответа" [math]Q=\left(1-\frac{5}{10}\right)\left(1-\frac{5}{9}\right)\left(1-\frac{5}{8}\right)=\frac{1}{12}[/math] Ошибка может возникать из-за того, что формулы типа [math]\frac{C_a^b\cdot C_c^d}{C_{a+c}^{b+d}}[/math] дают вероятности сразу для (скажем) трёх попыток, из которых (скажем) одна - успешная. Перемножать нечего, так как попытки "закончились". А здесь нужно считать по одной попытке, каждая уникальная, после которой условия меняются (становится меньше вопросов, которые студент не знает). |
||
Вернуться к началу | ||
K_A |
|
|
Возможно задам глупый вопрос, но я как-то не могу понять относительно числителей, почему везде 5-ки стоят, может (5/10), потом (4/9) и затем (3/8)?
|
||
Вернуться к началу | ||
Xmas |
|
|
K_A, пятёрки остаются потому, что пять "счастливых вопросов" (на которые студент знает ответ) так и остаются незаданными - ведь мы считаем "неответы".
P.S. А если в скобках из единиц вычесть дроби, то получатся эти 5/10, 4/9, 3/8 - при этом 5,4,3 будут показывать число оставшихся "несчастливых вопросов" |
||
Вернуться к началу | ||
K_A |
|
|
Спасибо, Xmas за помощь, пока до меня дошло почему 5-ки в числителе стоят, то удалить предыдущий вопрос уже было нельзя.
У меня теперь вот такая каша в голове: Почему-то когда тебя спрашивают в этой задаче посчитайте вероятность, что студент ответил на первый вопрос, потом на второй и т.д., то мы исходим из того, что всего три вопроса было задано студенту на экзамене и якобы если этот студент ответил на первый вопрос корректно, то на оставшиеся два вопроса будут даны неправильные ответы. А если задать вопрос: какова вероятность, что студент не сможет дать правильный ответ на первый вопрос, мы исходим уже не от трех экзаменационных вопросов, на которые студент обязан дать ответ, а от общего числа всех имеющихся экзаменационных вопросов. В нашем случае их 10. То есть: какова вероятность, что студент ответит на первый вопрос? Ответ выглядит так: [math]\frac{ \boldsymbol{C} _{5}^{1} \cdot \boldsymbol{C} _{5}^{2}}{ \boldsymbol{C} _{10}^{3}}[/math] Какова вероятность, что студент ответит на первый вопрос некорректно? Ответ выглядит так: [math]\frac{ 5 }{ 10 }[/math] Почему неправильно рассуждать так: Якобы считаем вероятность, что студент неправильно даст ответ на первый вопрос, а на оставшиеся два из трех он ответит то положительно, то отрицательно (т.е. всевозможные размещения) 5[math]\cdot[/math][math]\boldsymbol{A} _{9}^{2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Talanov |
|
|
Ответ зависит от постановки задачи.
|
||
Вернуться к началу | ||
Xmas |
|
|
K_A, после того, как студент получает 1-й вопрос, будущее студента расщепляется на две вселенные с вероятностями 1/2 каждая. Первая "вселенная" - в которой этой вопрос "счастливый", и там дальше вычислять нечего, ибо "хотя бы на один вопрос" студент заведомо ответил. Эта "1/2" никуда не девается, позже её нужно будет прибавить к общей вероятности.
Вторая "вселенная" - с вероятностью 1/2 - где на первый вопрос он НЕ ответил, но у него остались шансы вытянуть счастливый билет из двух оставшихся, а всего осталось 9 билетов и в них 5 знакомых вопросов. Дальше можно либо опять "расщеплять вселенные" (как раньше, "если да, если нет"), или же поступить так: считать, что вытягивание двух билетов является единым испытанием. Тогда: Вероятность вытянуть в точности 1 знакомый билет в двух попытках [math]P=\frac{\binom{q}{r}\binom{n-q}{m-r}}{\binom{n}{m}}=\frac{\binom{2}{1}\binom{9-2}{5-1}}{\binom{9}{5}}=\frac{5}{9}[/math] Вероятность вытянуть в точности 2 знакомый билет в двух попытках [math]P=\frac{\binom{q}{r}\binom{n-q}{m-r}}{\binom{n}{m}}=\frac{\binom{2}{2}\binom{9-2}{5-2}}{\binom{9}{5}}=\frac{5}{18}[/math] Я по привычке использую для биномиальных коэффициентов обозначение [math]\binom{n}{m}=C_n^m[/math] (обозначения равнозначны, но по сравнению с С верхний и нижний индекс меняются местами). Запись в скобках обычно удобнее, если вместо индексов используются выражения. Пространство свободнее, буквы крупнее. Общая вероятность ответа "хотя бы на один вопрос" [math]P=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{5}{9}+\frac{5}{18}\right)=\frac{11}{12}[/math] По Вашему вопросу. Выражение [math]A_9^2=72[/math] - это, понятно, все возможные сочетания билетов (72 варианта), как с известными вопросами, так и с неизвестными. А ещё нам нужно число размещений неизвестных вопросов: это будут случаи, когда ни один вопрос не знаком. Таких [math]A_4^2=12[/math]. В остальных случаях в размещении будет хотя бы один знакомый вопрос. Опять получаем: вероятность ответа на хотя бы один из двух оставшихся вопросов [math]P_{23}=\frac{72-12}{72}=\frac{5}{6}[/math] А в сумме с "ранее расщеплёнными вселенными" [math]P=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{12}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Условная вероятность
в форуме Объявления участников Форума |
3 |
265 |
22 май 2021, 12:12 |
|
Условная вероятность
в форуме Теория вероятностей |
3 |
548 |
23 янв 2019, 16:54 |
|
Условная вероятность
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
2 |
326 |
12 май 2020, 18:05 |
|
Условная вероятность
в форуме Теория вероятностей |
1 |
328 |
29 окт 2018, 22:02 |
|
Условная вероятность
в форуме Теория вероятностей |
2 |
500 |
05 май 2020, 13:17 |
|
Условная вероятность
в форуме Теория вероятностей |
5 |
1114 |
14 май 2016, 23:06 |
|
Условная вероятность
в форуме Теория вероятностей |
1 |
883 |
22 апр 2014, 20:50 |
|
Условная вероятность
в форуме Теория вероятностей |
3 |
192 |
05 дек 2020, 03:03 |
|
Условная вероятность
в форуме Теория вероятностей |
3 |
501 |
31 янв 2018, 14:12 |
|
Условная Вероятность
в форуме Теория вероятностей |
26 |
753 |
26 авг 2018, 17:33 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |