Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Условная вероятность
СообщениеДобавлено: 11 июл 2017, 19:46 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На экзамене студенту задают 3 вопроса из 10 экзаменационных вопросов.
Студент выучил половину вопросов (5 из 10).
Какова вероятность, что студент ответит хотя бы на один вопрос?

Мой ход решения:

P(A) - вероятность, что студент ответит на один вопрос из 3-х.

[math]\boldsymbol{P}[/math] [math]\left( \boldsymbol{A} \right)[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C} _{5}^{1} \cdot \boldsymbol{C} _{5}^{2}}{ \boldsymbol{C} _{10}^{3} }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ 5 }{ 12 }[/math]

P(В) - вероятность, что студент ответит на два вопроса из 3-х.

[math]\boldsymbol{P}[/math] [math]\left( \boldsymbol{B} \right)[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C} _{5}^{2} \cdot \boldsymbol{C} _{5}^{1}}{ \boldsymbol{C} _{10}^{3} }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ 5 }{ 12 }[/math]

P(С) - вероятность, что студент ответит на три вопроса из 3-х заданных.

[math]\boldsymbol{P}[/math] [math]\left( \boldsymbol{C} \right)[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C} _{5}^{3} \cdot \boldsymbol{C} _{5}^{0}}{ \boldsymbol{C} _{10}^{3} }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ 1 }{ 12 }[/math].

Таким образом, [math]\boldsymbol{P}[/math][math]\left( \boldsymbol{A} \right)[/math][math]+[/math][math]\boldsymbol{P}[/math][math]\left( \boldsymbol{B} \right)[/math][math]+[/math][math]\boldsymbol{P}[/math] [math]\left( \boldsymbol{C} \right)[/math][math]+[/math][math]=[/math][math]\frac{ 11 }{ 12 }[/math]

Я думала, что смогу получить аналогичный ответ используя формулу условной вероятности:

P(ABC)=P(A)*P(B│A)*P(C│AB) = [math]\frac{ \boldsymbol{C}_{5}^{1} \cdot \boldsymbol{C}_{5}^{2}}{ \boldsymbol{C}_{10}^{3}}[/math] [math]\cdot[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C}_{4}^{1} \cdot \boldsymbol{C}_{5}^{1}}{ \boldsymbol{C}_{9}^{2}}[/math] [math]\cdot[/math] [math]\frac{ \boldsymbol{C}_{3}^{1} \cdot \boldsymbol{C}_{5}^{0}}{ \boldsymbol{C}_{8}^{1}}[/math] [math]=[/math] ответ не сходится с (11/12)

Интуитивно понимаю, что в последнем случае перемножение некорректно, так как Р(АВС) - вероятность наступления трех событий одновременно ... к вопросу "хотя бы" не подходит.
Где у меня ошибка? Я хотела бы научиться решать подобные задачи с помощью условной вероятности.
Получается к подобного рода задачам условную вероятность применить нельзя ....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная вероятность
СообщениеДобавлено: 11 июл 2017, 21:25 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте посчитать вместо этого вероятность "ненаступления" трёх событий одновременно - неответ на один вопрос "И" неответ на два вопроса "И" неответ на три вопроса. Они как раз могут наступать одновременно.

Получите вероятность полного "неответа"
[math]Q=\left(1-\frac{5}{10}\right)\left(1-\frac{5}{9}\right)\left(1-\frac{5}{8}\right)=\frac{1}{12}[/math]

Ошибка может возникать из-за того, что формулы типа [math]\frac{C_a^b\cdot C_c^d}{C_{a+c}^{b+d}}[/math] дают вероятности сразу для (скажем) трёх попыток, из которых (скажем) одна - успешная. Перемножать нечего, так как попытки "закончились". А здесь нужно считать по одной попытке, каждая уникальная, после которой условия меняются (становится меньше вопросов, которые студент не знает).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная вероятность
СообщениеДобавлено: 11 июл 2017, 23:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно задам глупый вопрос, но я как-то не могу понять относительно числителей, почему везде 5-ки стоят, может (5/10), потом (4/9) и затем (3/8)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная вероятность
СообщениеДобавлено: 12 июл 2017, 10:46 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A, пятёрки остаются потому, что пять "счастливых вопросов" (на которые студент знает ответ) так и остаются незаданными - ведь мы считаем "неответы".

P.S. А если в скобках из единиц вычесть дроби, то получатся эти 5/10, 4/9, 3/8 - при этом 5,4,3 будут показывать число оставшихся "несчастливых вопросов"

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная вероятность
СообщениеДобавлено: 12 июл 2017, 13:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, Xmas за помощь, пока до меня дошло почему 5-ки в числителе стоят, то удалить предыдущий вопрос уже было нельзя.

У меня теперь вот такая каша в голове:

Почему-то когда тебя спрашивают в этой задаче посчитайте вероятность, что студент ответил на первый вопрос, потом на второй и т.д., то мы исходим из того, что всего три вопроса было задано студенту на экзамене и якобы если этот студент ответил на первый вопрос корректно, то на оставшиеся два вопроса будут даны неправильные ответы.

А если задать вопрос: какова вероятность, что студент не сможет дать правильный ответ на первый вопрос, мы исходим уже не от трех экзаменационных вопросов, на которые студент обязан дать ответ, а от общего числа всех имеющихся экзаменационных вопросов. В нашем случае их 10.

То есть: какова вероятность, что студент ответит на первый вопрос?
Ответ выглядит так:

[math]\frac{ \boldsymbol{C} _{5}^{1} \cdot \boldsymbol{C} _{5}^{2}}{ \boldsymbol{C} _{10}^{3}}[/math]

Какова вероятность, что студент ответит на первый вопрос некорректно?
Ответ выглядит так:

[math]\frac{ 5 }{ 10 }[/math]

Почему неправильно рассуждать так: Якобы считаем вероятность, что студент неправильно даст ответ на первый вопрос, а на оставшиеся два из трех он ответит то положительно, то отрицательно (т.е. всевозможные размещения) 5[math]\cdot[/math][math]\boldsymbol{A} _{9}^{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная вероятность
СообщениеДобавлено: 12 июл 2017, 13:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 16:16
Сообщений: 8193
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 370
Спасибо получено:
1417 раз в 1292 сообщениях
Очков репутации: 230

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ответ зависит от постановки задачи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условная вероятность
СообщениеДобавлено: 12 июл 2017, 16:49 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A, после того, как студент получает 1-й вопрос, будущее студента расщепляется на две вселенные :roll: с вероятностями 1/2 каждая. Первая "вселенная" - в которой этой вопрос "счастливый", и там дальше вычислять нечего, ибо "хотя бы на один вопрос" студент заведомо ответил. Эта "1/2" никуда не девается, позже её нужно будет прибавить к общей вероятности.

Вторая "вселенная" - с вероятностью 1/2 - где на первый вопрос он НЕ ответил, но у него остались шансы вытянуть счастливый билет из двух оставшихся, а всего осталось 9 билетов и в них 5 знакомых вопросов. Дальше можно либо опять "расщеплять вселенные" (как раньше, "если да, если нет"), или же поступить так: считать, что вытягивание двух билетов является единым испытанием. Тогда:

Вероятность вытянуть в точности 1 знакомый билет в двух попытках
[math]P=\frac{\binom{q}{r}\binom{n-q}{m-r}}{\binom{n}{m}}=\frac{\binom{2}{1}\binom{9-2}{5-1}}{\binom{9}{5}}=\frac{5}{9}[/math]

Вероятность вытянуть в точности 2 знакомый билет в двух попытках
[math]P=\frac{\binom{q}{r}\binom{n-q}{m-r}}{\binom{n}{m}}=\frac{\binom{2}{2}\binom{9-2}{5-2}}{\binom{9}{5}}=\frac{5}{18}[/math]

Я по привычке использую для биномиальных коэффициентов обозначение [math]\binom{n}{m}=C_n^m[/math] (обозначения равнозначны, но по сравнению с С верхний и нижний индекс меняются местами). Запись в скобках обычно удобнее, если вместо индексов используются выражения. Пространство свободнее, буквы крупнее.



Общая вероятность ответа "хотя бы на один вопрос"
[math]P=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{5}{9}+\frac{5}{18}\right)=\frac{11}{12}[/math]

По Вашему вопросу. Выражение [math]A_9^2=72[/math] - это, понятно, все возможные сочетания билетов (72 варианта), как с известными вопросами, так и с неизвестными. А ещё нам нужно число размещений неизвестных вопросов: это будут случаи, когда ни один вопрос не знаком. Таких [math]A_4^2=12[/math]. В остальных случаях в размещении будет хотя бы один знакомый вопрос.

Опять получаем: вероятность ответа на хотя бы один из двух оставшихся вопросов
[math]P_{23}=\frac{72-12}{72}=\frac{5}{6}[/math]

А в сумме с "ранее расщеплёнными вселенными"
[math]P=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{12}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Условная вероятность

в форуме Теория вероятностей

victror

5

161

15 май 2016, 00:06

Условная вероятность

в форуме Теория вероятностей

rashaveran

1

293

22 апр 2014, 21:50

Условная вероятность(наверно)

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

xim

2

72

01 мар 2017, 17:35

Условная вероятность, карты

в форуме Теория вероятностей

DeusEx

2

198

06 сен 2014, 12:01

Процентное соотношение/условная вероятность

в форуме Теория вероятностей

Hazelnut

3

260

21 окт 2014, 11:27

Задача про распределение в круге, условная вероятность

в форуме Теория вероятностей

DeusEx

1

122

21 фев 2015, 12:11

Чему равна условная вероятность РА(В3) гипотезы В3

в форуме Теория вероятностей

delgir

8

687

04 ноя 2011, 22:54

Условная вероятность при подбрасывании игральных костей

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

neurocore

10

297

17 май 2016, 18:34

Условная вероятность. Задача о шарахВ коробке n белых и m че

в форуме Теория вероятностей

Emma

0

172

04 дек 2014, 14:55

Условная вероятность: объясните логику общей формулы

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

deema

9

143

13 авг 2016, 12:21


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved