Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Геометрическая задача на принцип Дирихле?
СообщениеДобавлено: 22 мар 2017, 21:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 мар 2017, 20:58
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
За городом открылся кемпинг. Он представляет из себя лесную территорию в форме круга
радиусом 250 метров. Отдыхающие приезжают со своими палатками, а кемпинг предоставляет
столы. Столы стоят на одной ножке и могут находиться на расстоянии не менее 10 метров друг
от друга. Докажите, что в кемпинге можно разместить не более 2601 стола

Я полагаю, что тут принци Дирихле, но как ни выражая, получаю в результате меньше чем 2601 стола.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическая задача на принцип Дирихле?
СообщениеДобавлено: 22 мар 2017, 21:56 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
avallon писал(а):
Докажите, что в кемпинге можно разместить не более 2601 стола

avallon писал(а):
но как ни выражая, получаю в результате меньше чем 2601 стола.

По моему всё путём.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическая задача на принцип Дирихле?
СообщениеДобавлено: 22 мар 2017, 22:07 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если плоскость покрыть сеткой из равносторонних треугольников со стороной 10м и провести окружность радиусом 250м с центром в одной из вершин, то наверное 2601 вершина внутри круга (включая те, что на границе) и получится, не?
Хотя должно быть 6*N + 1, ввиду симметрии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическая задача на принцип Дирихле?
СообщениеДобавлено: 23 мар 2017, 04:02 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, похоже, дело не в принципе Дирихле. Скорее всего, имеется в виду грубая оценка сверху.
Надо построить правильный 6-угольник из правильных треугольников со стороной 10м, затем окружить его ещё одним слоем из равносторонних треугольников, достраивая до правильного 6-угольника со стороной уже 20м, и т.д. Число вершин (столов) будет в K-й итерации равно 1 + 3 * K * (K + 1), что легко увидеть, если провести построение и подсчёт.

Нас интересует 6-угольник минимальной диагонали, в который полностью помещается окружность радиуса 250м.

Легко посчитать, что половина диагонали правильного 6-угольника, в который вписана такая окружность, равна 500/sqrt(3) = 288.675, т.е. 29-я итерация нашего 6-угольника полностью содержит окружность, а 28-я - нет. Грубая оценка сверху: 1+ 3 * 29 * 30 = 2611.

Ясно, что реально столов будет сильно меньше, грубая оценка снизу - число вершин треугольничков в 25-й итерации, 1951.

Отсюда следует, что у вас опечатка в условии, не 2601, а 2611. :)
Но, конечно, можно строить более сложные, но и более точные оценки.

Сорри, что всё на словах, но редакторами математической графики пока не овладел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
radix
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическая задача на принцип Дирихле?
СообщениеДобавлено: 24 мар 2017, 18:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 мар 2017, 20:58
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тут действительно просто грубая оценка сверху.
Так как столы ставить можно и на границу круга (но на расстоянии 10 от других столов), то есть поделить площадь круга со стороной 255 на площадь, покрываемую столом (круг радиуса 5), то таких столов вместится не больше 2601.
Это действительно грубая оценка, так как при в площадь круга входит также площадь между кругами, поэтому более точная верхняя оценка будет ниже.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрическая задача на принцип Дирихле?
СообщениеДобавлено: 24 мар 2017, 21:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, понятно.
Собственно, можно попробовать просто подсчитать число вершин равносторонних треугольников для данного конкретного значения радиуса. Если в общем виде - будет заодно решена задача о наиболее компактном размещении внутри (и на границе) окружности радиуса R точек, расстояние между которыми не меньше r.
Но это сложно, кажется. Чем-то подобным комбинаторная геометрия занимается, хотя, возможно, эта задачка - школьного уровня.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Принцип Дирихле

в форуме Теория чисел

silversurficus

9

524

13 июл 2021, 14:57

Принцип Дирихле

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Rosenrot

3

584

25 янв 2015, 23:47

Задача Дирихле для круга

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

yapyanchzhanchzhen

1

221

20 май 2019, 21:28

Внутренняя задача Дирихле для круга

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

d_kosolapov

5

438

06 апр 2018, 19:20

Задача Дирихле для уравнения Пуассона

в форуме Специальные разделы

MagmichkA

3

537

02 апр 2017, 15:44

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ryslannn

12

593

13 июл 2020, 15:01

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ryslannn

8

379

09 июл 2020, 21:37

Задача Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Aigul

3

369

13 фев 2015, 01:37

Смешанная задача, принцип Дюамеля

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

user1996

1

498

27 ноя 2016, 21:55

Геометрическая задача

в форуме Геометрия

kicultanya

4

501

26 дек 2016, 09:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 21


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved