Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 14 янв 2017, 13:50 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 206
Спасибо получено:
12 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано: в урне 5 белых и 10 чёрных шаров. Извлечены 6 шаров с возвращением. Известно, что среди них есть белые. При этом условии, найти вероятность того, что среди них будут также не менее 2 чёрных шаров.

Рассуждение:

Вероятность извлечь всякий раз (поскольку с возвращением) белый шар равна 1/3, вероятность извлечь чёрный - 2/3.

нас интересуют следующие возможные случаи:

1) 2 чёрных и 4 белых
2) 3 чёрных и 3 белых
3) 4 чёрных и 2 белых
4) 5 чёрных и 1 белых

P(1) = 2/3[math]^{2}[/math] * 1/3[math]^{4}[/math]
P(2) = 2/3[math]^{3}[/math] * 1/3[math]^{3}[/math]
P(3) = 2/3[math]^{4}[/math] * 1/3[math]^{2}[/math]
P(4) = 2/3[math]^{5}[/math] * 1/3[math]^{1}[/math]

P(1)+P(2)+P(3)+P(4) в сумме дают [math]\frac{ 60 }{ 3^{6} }[/math] = 0,08

В ответе стоит 0,98

Не могу понять, в чём ошибка в рассуждениях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 14 янв 2017, 15:55 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper писал(а):
Не могу понять, в чём ошибка в рассуждениях

При вычислении вероятностей [math]P(k)[/math] нужно использовать формулу Бернулли.
Кроме этого нужно учесть, что задача на условную вероятность.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 16:00 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 206
Спасибо получено:
12 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Boris Skovoroda писал(а):
alekscooper писал(а):
Не могу понять, в чём ошибка в рассуждениях

При вычислении вероятностей [math]P(k)[/math] нужно использовать формулу Бернулли.
Кроме этого нужно учесть, что задача на условную вероятность.



Да, прочитал про формулу Бернулли и понял, что это она. Впрочем, последовательный подсчёт 2, 3, 4 и 5 чёрных шаров в сумме правильный ответ не дал(получилось 0,89 против 0,98 в ответе).

>>Кроме этого нужно учесть, что задача на условную вероятность
Не совсем понимаю, как это тут учесть. Тут же выборка с возвращением. Вероятность вытащить тот или иной шар не зависит от того, какой шар мы вытаскивали до этого.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 18:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper писал(а):
Дано: в урне 5 белых и 10 чёрных шаров. Извлечены 6 шаров с возвращением. Известно, что среди них есть белые. При этом условии, найти вероятность того, что среди них будут также не менее 2 чёрных шаров.

Задачу можно упростить и считать, что извлекли 5 шаров (без всяких условий насчёт белого шара).
Вероятность, что они все белые - 1/243. Вероятность, что один шар чёрный - 5/243. Искомая вероятность - 237/243 или примерно 0.976.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 21:34 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Задачу можно упростить и считать, что извлекли 5 шаров (без всяких условий насчёт белого шара).

Эта более простая задача не равносильна исходной. Решая свою задачу, вы сделали ошибку.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 21:44 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper писал(а):
Не совсем понимаю, как это тут учесть.

В вашей задаче нужно найти условную вероятность [math]P(A|B)[/math], где случайное событие [math]A \; -[/math] среди взятых шести шаров не менее двух черных, а случайное событие [math]B \; -[/math] среди взятых шести шаров есть белые.


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Boris Skovoroda "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 22:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Boris Skovoroda писал(а):
Эта более простая задача не равносильна исходной. Решая свою задачу, вы сделали ошибку.

Я извиняюсь, у вас какой ответ получился? У меня, как я писал, p=237/243=0.9753.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 19 янв 2017, 21:22 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Я извиняюсь, у вас какой ответ получился? У меня, как я писал, p=237/243=0.9753.

[math]p=\frac{ 232 }{243} \approx 0.955.[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Есть белые шары и не менее 2 чёрных - выборка с возвращением
СообщениеДобавлено: 20 янв 2017, 00:41 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 янв 2014, 21:56
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
157 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

А в исходной задаче [math]P(A|B)=\frac{ 652 }{ 665 } \approx 0.98.[/math]


Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
В трех урнах содержатся белые и черные шары

в форуме Теория вероятностей

Tania_

12

484

28 май 2020, 22:37

Вероятность вытащить ровно 2 чёрных шара; менее 3 белых

в форуме Теория вероятностей

Nyuta

4

112

01 июл 2022, 21:39

Есть 3 ящика с номерами 1, 2, 3 и 7 шариков, 3 черных и 4 бе

в форуме Теория вероятностей

maxgeo

1

110

27 дек 2020, 15:43

Существуют ли белые фотоны?

в форуме Палата №6

O Micron

84

601

06 сен 2021, 17:26

Белые и чёрные кони

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

1

56

17 мар 2024, 18:03

Выбор с возвращением

в форуме Теория вероятностей

missb

9

739

08 окт 2014, 18:02

Выбор с возвращением

в форуме Теория вероятностей

KsushaSha

1

273

15 апр 2017, 19:13

Белые ночи в центральной России

в форуме Размышления по поводу и без

Hoper

3

223

02 июл 2022, 15:40

Задача про белые и черные мячи

в форуме Теория вероятностей

Trader97

10

335

24 сен 2018, 18:38

Выбор шаров с возвращением

в форуме Теория вероятностей

bioplural

12

680

19 май 2019, 11:28


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved