Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Асимптотики сумм
СообщениеДобавлено: 22 окт 2015, 19:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 окт 2013, 19:03
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот две задачи. Долго над ними думал, но в итоге, исчерпав идеи, зашел в тупик.
Подскажите. пожалуйста, как быть
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Асимптотики сумм
СообщениеДобавлено: 24 окт 2015, 23:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2269 раз в 1753 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Думаю, что эти наброски решений можно довести до ума.
1. Если поделить числитель и знаменатель на [math]2^n[/math], то можно воспользоваться локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. Именно, полагая [math]a = xn[/math], [math]0 < x \leqslant \frac{1}{2}[/math], получим
[math]C_n^a{2^{- n}}\approx \frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}\frac{2}{{\sqrt n}}\exp \left({-{{\left({\frac{{a - \frac{n}{2}}}{{\sqrt n}}2}\right)}^2}\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}\frac{2}{{\sqrt n}}\exp \left({- \frac{{n{{\left({2x - 1}\right)}^2}}}{2}}\right)[/math],
[math]\sum\limits_{k = 0}^{\left[{a|3}\right]}{C_n^k{2^{- n}}}\approx \Phi \left({\left({\frac{{2x}}{3}- 1}\right)\sqrt n}\right) \approx \frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}\frac{1}{{\sqrt n \left({1 - \frac{{2x}}{3}}\right)}}\exp \left({- \frac{{n{{\left({2x - 3}\right)}^2}}}{{18}}}\right)[/math].
Поэтому
[math]\frac{{C_n^a{2^{- n}}}}{{\sum\limits_{k = 0}^{\left[{a|3}\right]}{C_n^k{2^{- n}}}}}\approx 2\left({1 - \frac{{2x}}{3}}\right)\exp \left({n\left({\frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9}{x^2}}\right)}\right)[/math]
Максимум в показателе экспоненты достигается при [math]x = \frac{3}{8}[/math].
Отсюда выводим, что правая часть представима в виде
[math]2\left({1 - \frac{{2x}}{3}}\right)\exp \left({n\left({\frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9}{x^2}}\right)}\right) = \frac{3}{2}{e^{\frac{1}{4}n}}={e^{\frac{1}{4}n + \ln \frac{3}{2}}}={\left({{e^{\frac{1}{4}}}{e^{\frac{1}{n}\ln \frac{3}{2}}}}\right)^n}={\left({{e^{\frac{1}{4}}}+ o\left( 1 \right)}\right)^n}[/math].
Следовательно, [math]c=e^{\frac{1}{4}}[/math].

2. [math]\sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{\ln \left({k! \cdot \ln k!}\right)}}}= \sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{\ln \left({k!}\right)}}}- \sum\limits_{k = 2}^n{\left({\frac{1}{{\ln \left({k!}\right)}}- \frac{1}{{\ln \left({k! \cdot \ln k!}\right)}}}\right)}[/math]
Вторая сумма ограничена при [math]n \to \infty[/math]. Для доказательства можно использовать соотношение [math]\ln \left({k!}\right) \approx k\left({\ln k - 1}\right)[/math].
Далее
[math]\sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{\ln \left({k!}\right)}}}= \sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{k\ln \left( k \right)}}}+ \sum\limits_{k = 2}^n{\left({\frac{1}{{\ln \left({k!}\right)}}- \frac{1}{{k\ln \left( k \right)}}}\right)}[/math]
И в этом равенстве вторая сумма в правой части ограничена.
Поэтому асимптотика исходного выражения имеет вид
[math]\sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{\ln \left({k! \cdot \ln k!}\right)}}}\approx \sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{k\ln \left( k \right)}}}\approx \ln \ln n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
"Решить пределы через асимптотики" - что это значит?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

aa-novik

3

223

02 апр 2016, 18:18

Количество сумм

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

iperevalov

0

210

22 дек 2015, 00:06

Огрубление сумм и произведений

в форуме Ряды

Dim212

10

1060

31 мар 2018, 11:00

Производная от произведения сумм

в форуме Дифференциальное исчисление

Fireman

1

121

15 фев 2019, 00:11

По поводу сумм двух рядов

в форуме Ряды

Avgust

3

128

01 июн 2019, 00:00

Арифметическая прогрессия из сумм делителей

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

1

208

27 авг 2017, 00:52

Итеграл с помощью интегральных сумм

в форуме Интегральное исчисление

Gvinblad

0

261

13 дек 2017, 20:32

Докажите авенство сумм площадей

в форуме Геометрия

aninibas

1

256

02 окт 2014, 16:48

Сходимость ряда из частичных сумм

в форуме Ряды

Victor-2978

1

322

31 май 2014, 14:29

Сколько всего магических сумм? Формула

в форуме Размышления по поводу и без

Avgust

18

833

24 ноя 2019, 22:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved