Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Quantum |
|
|
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Думаю, что эти наброски решений можно довести до ума.
1. Если поделить числитель и знаменатель на [math]2^n[/math], то можно воспользоваться локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. Именно, полагая [math]a = xn[/math], [math]0 < x \leqslant \frac{1}{2}[/math], получим [math]C_n^a{2^{- n}}\approx \frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}\frac{2}{{\sqrt n}}\exp \left({-{{\left({\frac{{a - \frac{n}{2}}}{{\sqrt n}}2}\right)}^2}\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}\frac{2}{{\sqrt n}}\exp \left({- \frac{{n{{\left({2x - 1}\right)}^2}}}{2}}\right)[/math], [math]\sum\limits_{k = 0}^{\left[{a|3}\right]}{C_n^k{2^{- n}}}\approx \Phi \left({\left({\frac{{2x}}{3}- 1}\right)\sqrt n}\right) \approx \frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}\frac{1}{{\sqrt n \left({1 - \frac{{2x}}{3}}\right)}}\exp \left({- \frac{{n{{\left({2x - 3}\right)}^2}}}{{18}}}\right)[/math]. Поэтому [math]\frac{{C_n^a{2^{- n}}}}{{\sum\limits_{k = 0}^{\left[{a|3}\right]}{C_n^k{2^{- n}}}}}\approx 2\left({1 - \frac{{2x}}{3}}\right)\exp \left({n\left({\frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9}{x^2}}\right)}\right)[/math] Максимум в показателе экспоненты достигается при [math]x = \frac{3}{8}[/math]. Отсюда выводим, что правая часть представима в виде [math]2\left({1 - \frac{{2x}}{3}}\right)\exp \left({n\left({\frac{4}{3}x - \frac{{16}}{9}{x^2}}\right)}\right) = \frac{3}{2}{e^{\frac{1}{4}n}}={e^{\frac{1}{4}n + \ln \frac{3}{2}}}={\left({{e^{\frac{1}{4}}}{e^{\frac{1}{n}\ln \frac{3}{2}}}}\right)^n}={\left({{e^{\frac{1}{4}}}+ o\left( 1 \right)}\right)^n}[/math]. Следовательно, [math]c=e^{\frac{1}{4}}[/math]. 2. [math]\sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{\ln \left({k! \cdot \ln k!}\right)}}}= \sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{\ln \left({k!}\right)}}}- \sum\limits_{k = 2}^n{\left({\frac{1}{{\ln \left({k!}\right)}}- \frac{1}{{\ln \left({k! \cdot \ln k!}\right)}}}\right)}[/math] Вторая сумма ограничена при [math]n \to \infty[/math]. Для доказательства можно использовать соотношение [math]\ln \left({k!}\right) \approx k\left({\ln k - 1}\right)[/math]. Далее [math]\sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{\ln \left({k!}\right)}}}= \sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{k\ln \left( k \right)}}}+ \sum\limits_{k = 2}^n{\left({\frac{1}{{\ln \left({k!}\right)}}- \frac{1}{{k\ln \left( k \right)}}}\right)}[/math] И в этом равенстве вторая сумма в правой части ограничена. Поэтому асимптотика исходного выражения имеет вид [math]\sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{\ln \left({k! \cdot \ln k!}\right)}}}\approx \sum\limits_{k = 2}^n{\frac{1}{{k\ln \left( k \right)}}}\approx \ln \ln n[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Оценка асимптотики | 1 |
108 |
08 авг 2021, 15:05 |
|
"Решить пределы через асимптотики" - что это значит?
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
258 |
02 апр 2016, 18:18 |
|
Количество сумм | 0 |
264 |
22 дек 2015, 00:06 |
|
Производная от произведения сумм
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
169 |
15 фев 2019, 00:11 |
|
Огрубление сумм и произведений
в форуме Ряды |
10 |
1355 |
31 мар 2018, 11:00 |
|
По поводу сумм двух рядов
в форуме Ряды |
3 |
165 |
01 июн 2019, 00:00 |
|
Докажите авенство сумм площадей
в форуме Геометрия |
1 |
279 |
02 окт 2014, 16:48 |
|
Сходимость ряда из частичных сумм
в форуме Ряды |
1 |
397 |
31 май 2014, 14:29 |
|
Арифметическая прогрессия из сумм делителей
в форуме Размышления по поводу и без |
1 |
237 |
27 авг 2017, 00:52 |
|
Итеграл с помощью интегральных сумм
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
473 |
13 дек 2017, 20:32 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |