Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 02 окт 2015, 04:39 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
13 сен 2015, 00:29
Сообщений: 103
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите доказать,что
[math]C^k_-_n=(-1)^k*C^k_n_+_k-_1[/math]
n,k - натуральные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 02 окт 2015, 14:14 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересно, как вообще определяется сочетание на множестве с отрицательным [math]n,[/math] а также само множество. :shock:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 02 окт 2015, 21:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно, производящей функцией этих коэффициентов является [math]{\left({1 + x}\right)^{- n}}[/math], т.е.
[math]\frac{1}{{{{\left({1 + x}\right)}^n}}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{C_{- n}^k{x^k}}[/math] ?
Тогда нужное равенство доказывается дифференцированием [math]n[/math] раз соотношения
[math]\frac{1}{{1 + x}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{{{\left({- 1}\right)}^k}{x^k}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 00:29 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Возможно, производящей функцией этих коэффициентов является [math]{\left({1 + x}\right)^{- n}}[/math], т.е.
[math]\frac{1}{{{{\left({1 + x}\right)}^n}}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{C_{- n}^k{x^k}}[/math] ?
Тогда нужное равенство доказывается дифференцированием [math]n[/math] раз соотношения
[math]\frac{1}{{1 + x}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{{{\left({- 1}\right)}^k}{x^k}}[/math].

Не знаю. Я всегда полагал, что размещения, сочетания и перестановки определены на некоторых конечных множествах. Старость, сказывается, однако... :(

Правда, и от "школьной" комбинаторики поднятая тема далека. Это меня "утешает". :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 08:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
Я тоже не уверен в том, что правильно понял сочетания с отрицательным [math]n[/math].
Просто хотел поддержать тему и увидеть отклик ТС. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 09:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Согласно справочника Г.Б.Двайта [math](1+x)^{-n}=1-nx+\frac{ n(n+1) }{ 2! }x^{2}-\frac{ n(n+1)(n+2) }{ 3! }x^{3}...[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 09:41 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei писал(а):
Согласно справочника Г.Б.Двайта [math](1+x)^{-n}=1-nx+\frac{ n(n+1) }{ 2! }x^{2}-\frac{ n(n+1)(n+2) }{ 3! }x^{3}...[/math]

С этим не поспоришь. Но использовать термин "сочетание" в данном случае, на мой взгляд, - большая натяжка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 03 окт 2015, 09:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В данном случае я считаю.что нужно употреблять термин "коэффициенты" при [math]x^{k}[/math].
А для доказательства просто взять разложение бинома Ньютона при целом отрицательном [math]n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сочетания для отрицательного n
СообщениеДобавлено: 06 окт 2015, 19:15 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
13 сен 2015, 00:29
Сообщений: 103
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё даказали сами. Вот решение.
[math]C^k_n_+_k_- 1=\frac{(n+k-1)!}{(n+k-1-k)!k!}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}=\frac{n*...*(n+k-1)}{k!}[/math]
[math]C^k_-_n=\frac{(-n)!}{(-n-k)!k!}=\frac{(-n-k+1)*...*(-n)}{k!}=(-1)^k\frac{n*...*(n+k-1)}{k!}[/math]
Умножаем обе части на [math](-1)^k[/math]. Равенство доказано.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю TeorVer "Спасибо" сказали:
Pyro
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сочетания или сочетания с повторениями? Вот в чем вопрос

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

wyifhd

2

220

17 сен 2020, 04:20

Функция Лапласа от отрицательного числа

в форуме Теория вероятностей

DeusEx

4

5704

09 дек 2014, 16:48

Четный корень из отрицательного числа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Ace Ardent

1

362

10 янв 2018, 03:18

Нецелая степень отрицательного числа

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

7in

9

493

04 янв 2018, 12:33

Корень из квадрата отрицательного числа - парадокс?

в форуме Дискуссионные математические проблемы

T-34

8

2174

05 фев 2015, 10:48

Проблемы с четными степенями отрицательного числа

в форуме Алгебра

mirfees

2

326

01 авг 2016, 11:06

Числовой ряд находится внутри отрицательного нуля, (+0)…(+n)

в форуме Палата №6

kovtunets49

10

709

08 янв 2018, 21:55

Перевод отрицательного двоичного числа в десятичную систему

в форуме Информатика и Компьютерные науки

Evgenij42

7

404

12 дек 2021, 18:39

Сочетания

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

New15

2

335

26 июл 2017, 17:20

Сочетания

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Diksaz

3

371

27 окт 2018, 13:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved