Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
TeorVer |
|
|
[math]C^k_-_n=(-1)^k*C^k_n_+_k-_1[/math] n,k - натуральные. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Интересно, как вообще определяется сочетание на множестве с отрицательным [math]n,[/math] а также само множество.
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Возможно, производящей функцией этих коэффициентов является [math]{\left({1 + x}\right)^{- n}}[/math], т.е.
[math]\frac{1}{{{{\left({1 + x}\right)}^n}}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{C_{- n}^k{x^k}}[/math] ? Тогда нужное равенство доказывается дифференцированием [math]n[/math] раз соотношения [math]\frac{1}{{1 + x}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{{{\left({- 1}\right)}^k}{x^k}}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Prokop писал(а): Возможно, производящей функцией этих коэффициентов является [math]{\left({1 + x}\right)^{- n}}[/math], т.е. [math]\frac{1}{{{{\left({1 + x}\right)}^n}}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{C_{- n}^k{x^k}}[/math] ? Тогда нужное равенство доказывается дифференцированием [math]n[/math] раз соотношения [math]\frac{1}{{1 + x}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{{{\left({- 1}\right)}^k}{x^k}}[/math]. Не знаю. Я всегда полагал, что размещения, сочетания и перестановки определены на некоторых конечных множествах. Старость, сказывается, однако... Правда, и от "школьной" комбинаторики поднятая тема далека. Это меня "утешает". |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Andy
Я тоже не уверен в том, что правильно понял сочетания с отрицательным [math]n[/math]. Просто хотел поддержать тему и увидеть отклик ТС. |
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
Согласно справочника Г.Б.Двайта [math](1+x)^{-n}=1-nx+\frac{ n(n+1) }{ 2! }x^{2}-\frac{ n(n+1)(n+2) }{ 3! }x^{3}...[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
andrei писал(а): Согласно справочника Г.Б.Двайта [math](1+x)^{-n}=1-nx+\frac{ n(n+1) }{ 2! }x^{2}-\frac{ n(n+1)(n+2) }{ 3! }x^{3}...[/math] С этим не поспоришь. Но использовать термин "сочетание" в данном случае, на мой взгляд, - большая натяжка. |
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
В данном случае я считаю.что нужно употреблять термин "коэффициенты" при [math]x^{k}[/math].
А для доказательства просто взять разложение бинома Ньютона при целом отрицательном [math]n[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
TeorVer |
|
|
Всё даказали сами. Вот решение.
[math]C^k_n_+_k_- 1=\frac{(n+k-1)!}{(n+k-1-k)!k!}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}=\frac{n*...*(n+k-1)}{k!}[/math] [math]C^k_-_n=\frac{(-n)!}{(-n-k)!k!}=\frac{(-n-k+1)*...*(-n)}{k!}=(-1)^k\frac{n*...*(n+k-1)}{k!}[/math] Умножаем обе части на [math](-1)^k[/math]. Равенство доказано. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю TeorVer "Спасибо" сказали: Pyro |
||
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |