Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Bullgamer |
|
|
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
А вы картинку не перепутали?
|
||
Вернуться к началу | ||
Bullgamer |
|
|
mad_math
Нет, все верно, а что не так? Доказать что сумма k^4 при заданном n равна данной формуле. вот кстати подобный пост viewtopic.php?f=62&t=15321 так что никакой ошибки |
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
|
Видимо просто надо внимательней считать, и тогда все должно получиться. Хотя у меня в лоб что то тоже не получилось, поэтому я математическую индукцию проверил другим необычным способом, кстати пригодным на все случаи жизни, то-есть для любых степеней и полиномов.
Очевидно [math]\sum_{k=1}^n k^4=n(a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0)=s(n); =>s(n)-s(n-1)=n^4;=>[/math] [math]n^4=a_4[n^4+n^3(n-1)+n^2(n-1)^2+n(n-1)^3+(n-1)^4]+a_3[n^3+n^2(n-1)+n(n-1)^2+(n-1)^3]+a_2[n^2+n(n-1)+(n-1)^2]+a_1[2n-1]+a_0;[/math] [math]a_4=\frac{1}{5};=>[/math] [math]0=\frac{1}{5}[-n^3-2n^2+n^2-3n^3+3n^2-n-4n^3+6n^2-4n+1]+a_3[4n^3-n^2-2n^2+n-3n^2+3n-1]+a_2[3n^2-n-2n+1]+a_1[2n-1]+a_0;=>[/math] [math]a_3=\frac{1}{2}; =>[/math] [math]0=\frac{1}{5}[10n^2-5n+1]+\frac{1}{2}[-6n^2+4n-1]+a_2[3n^2-3n+1]+a_1[2n-1]+a_o; => a_2=\frac{3-2}{3}=\frac{1}{3};=>[/math] [math]0=\frac{1}{5}[-5n+1]+\frac{1}{2}[4n-1]+\frac{1}{3}[-3n+1]+a_1[2n-1]+a_0;=> a_1=\frac{1-2+1}{2}=0; =>[/math] [math]a_0=-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-6+15-10}{30}=-\frac{1}{30};=>[/math] [math]s(n)=\sun_{k=1}^n k^4 = n(\frac{n^4}{5}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{3}-1);[/math] Поскольку s(n) выведена при произвольном n, и она очевидно равна [math]s(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}[/math], то это доказывает исходную формулу методом математической индукции |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: mad_math |
||
Bullgamer |
|
|
Alexander N
Что-то я не понимаю как данный метод имеет связь с методом мат.индукции. Вообще, задание полностью выглядело так: дана сумма, и вот нужно для этой суммы найти формулу. Так вот через метод неопределенных коэффициентов (фактически тоже самое что проделали и вы) я нашел данную формулу. А теперь этап два, доказать справедливость данной формулы через метод мат.индукции. И, полагаю, что выглядеть это должно все совершенно иначе. |
||
Вернуться к началу | ||
Alexander N |
|
|
Bullgamer писал(а): Alexander N Что-то я не понимаю как данный метод имеет связь с методом мат.индукции. Вообще, задание полностью выглядело так: дана сумма, и вот нужно для этой суммы найти формулу. Так вот через метод неопределенных коэффициентов (фактически тоже самое что проделали и вы) я нашел данную формулу. А теперь этап два, доказать справедливость данной формулы через метод мат.индукции. И, полагаю, что выглядеть это должно все совершенно иначе. Давайте вспомним метод мат индукции. 1). Утверждение должно быть верно при n=1. 2). Предполагая справедливость утверждения при n (или n-1) нужно получить утверждение при n+1 (n). Мой вывод собственно и получается и при n=1, n-1,n и можно и n+1, но мне для выкладок было просто удобнее взять (n-1, n). Поскольку полученная формула тождественная искомой, то результат автоматом переходит и на искомую формулу. Тут просто есть тонкий момент. Когда мы решаем различные уравнения вида F(n)=0, то мы на самом деле неявно используем по полной программе именно метод математической индукции. PS. Собственно я не предлагаю это как метод решения вашей задачи, а как ее интересное нестандартное решение. Для чистоты эксперимента вам конечно лучше самому все проделать по правилам. Но я уверен, что решение очевидно должно быть, причем правильное. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: Bullgamer |
||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |