Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 24 окт 2013, 01:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 янв 2012, 04:49
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понимаю суть, как работает метод мат индукции, но вот с конкретным доказательством проблемы (формула с маткада, там где стрелочка - это, грубо говоря, равно)
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 24 окт 2013, 01:35 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вы картинку не перепутали?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 24 окт 2013, 01:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 янв 2012, 04:49
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Нет, все верно, а что не так?
Доказать что сумма k^4 при заданном n равна данной формуле.

вот кстати подобный пост
viewtopic.php?f=62&t=15321
так что никакой ошибки

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 24 окт 2013, 12:47 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Видимо просто надо внимательней считать, и тогда все должно получиться. Хотя у меня в лоб что то тоже не получилось, поэтому я математическую индукцию проверил другим необычным способом, кстати пригодным на все случаи жизни, то-есть для любых степеней и полиномов.
Очевидно [math]\sum_{k=1}^n k^4=n(a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0)=s(n); =>s(n)-s(n-1)=n^4;=>[/math]

[math]n^4=a_4[n^4+n^3(n-1)+n^2(n-1)^2+n(n-1)^3+(n-1)^4]+a_3[n^3+n^2(n-1)+n(n-1)^2+(n-1)^3]+a_2[n^2+n(n-1)+(n-1)^2]+a_1[2n-1]+a_0;[/math]

[math]a_4=\frac{1}{5};=>[/math]

[math]0=\frac{1}{5}[-n^3-2n^2+n^2-3n^3+3n^2-n-4n^3+6n^2-4n+1]+a_3[4n^3-n^2-2n^2+n-3n^2+3n-1]+a_2[3n^2-n-2n+1]+a_1[2n-1]+a_0;=>[/math]

[math]a_3=\frac{1}{2}; =>[/math]

[math]0=\frac{1}{5}[10n^2-5n+1]+\frac{1}{2}[-6n^2+4n-1]+a_2[3n^2-3n+1]+a_1[2n-1]+a_o; => a_2=\frac{3-2}{3}=\frac{1}{3};=>[/math]

[math]0=\frac{1}{5}[-5n+1]+\frac{1}{2}[4n-1]+\frac{1}{3}[-3n+1]+a_1[2n-1]+a_0;=> a_1=\frac{1-2+1}{2}=0; =>[/math]

[math]a_0=-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-6+15-10}{30}=-\frac{1}{30};=>[/math]

[math]s(n)=\sun_{k=1}^n k^4 = n(\frac{n^4}{5}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{3}-1);[/math]

Поскольку s(n) выведена при произвольном n, и она очевидно равна [math]s(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}[/math], то это доказывает исходную формулу методом математической индукции

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 24 окт 2013, 13:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 янв 2012, 04:49
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N
Что-то я не понимаю как данный метод имеет связь с методом мат.индукции.
Вообще, задание полностью выглядело так: дана сумма, и вот нужно для этой суммы найти формулу. Так вот через метод неопределенных коэффициентов (фактически тоже самое что проделали и вы) я нашел данную формулу. А теперь этап два, доказать справедливость данной формулы через метод мат.индукции. И, полагаю, что выглядеть это должно все совершенно иначе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать методом математической индукции
СообщениеДобавлено: 24 окт 2013, 14:48 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Bullgamer писал(а):
Alexander N
Что-то я не понимаю как данный метод имеет связь с методом мат.индукции.
Вообще, задание полностью выглядело так: дана сумма, и вот нужно для этой суммы найти формулу. Так вот через метод неопределенных коэффициентов (фактически тоже самое что проделали и вы) я нашел данную формулу. А теперь этап два, доказать справедливость данной формулы через метод мат.индукции. И, полагаю, что выглядеть это должно все совершенно иначе.

Давайте вспомним метод мат индукции.
1). Утверждение должно быть верно при n=1.
2). Предполагая справедливость утверждения при n (или n-1) нужно получить утверждение при n+1 (n).
Мой вывод собственно и получается и при n=1, n-1,n и можно и n+1, но мне для выкладок было просто удобнее взять (n-1, n).
Поскольку полученная формула тождественная искомой, то результат автоматом переходит и на искомую формулу.
Тут просто есть тонкий момент. Когда мы решаем различные уравнения вида F(n)=0, то мы на самом деле неявно используем по полной программе именно метод математической индукции.
PS. Собственно я не предлагаю это как метод решения вашей задачи, а как ее интересное нестандартное решение. Для чистоты эксперимента вам конечно лучше самому все проделать по правилам. Но я уверен, что решение очевидно должно быть, причем правильное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
Bullgamer
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать методом математической индукции, что

в форуме Теория вероятностей

crosssss

1

375

14 фев 2016, 21:55

Доказать методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

khv

2

441

27 апр 2015, 14:19

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

h8w8

1

577

14 фев 2015, 19:26

Доказать методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Katrine

5

771

20 янв 2015, 15:07

Доказать методом математической индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Matt Matics

6

601

17 окт 2017, 16:49

Доказать методом математической индукции:

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

vldkarpv

2

250

27 дек 2022, 23:11

Доказать неравенство Методом Математической Индукции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

felmaran

4

628

05 ноя 2015, 20:05

Доказать методом математической индукции тождество

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

llloris

32

475

03 мар 2023, 14:38

Доказать делимость методом математической индукции

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Nastya Way

7

721

22 июн 2015, 16:41

Решить методом математической индукции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Isin

2

267

26 сен 2015, 23:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved