Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Хорда дуга
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 15:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 сен 2014, 17:24
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Доброго времени суток!
по радио услышал такую задачу:
есть рельса прямая длиной ,ну пусть будет 100 метров
Рельса закреплена на концах.
Рельсу нагрели, и она удлинилась на 1 метр.
Какую она будет иметь форму в реальности не знаю,
но предположим что "горячая" рельса совпала с Дугой окружности радиуса R. Смотрите рисунок.
Нужно определить высоту рельсы BF.
Для упрощения я рассматриваю задачу в 1 -ом квадранте прямоугольной сист. координат (см. нижний рисунок)
где H это половина "холодной" рельсы (50м), L - половина длины "горячей" рельсы (50,5м).
Я думаю что задача сводится к отысканию или радиуса R или угла [math]\alpha[/math]
L= [math]\alpha[/math] *R
sin( [math]\alpha[/math] ) = H/R
Заменяем R, и имеем sin( [math]\alpha[/math] )=0,9901* [math]\alpha[/math]
решить это уравнение по моему можно только численными методами.
решаем числ. методом - получаем [math]\alpha[/math] = 0.244 радиан
радиус находим легко = 206,87 м
находим MK=200,66 м
получаем высоту=KN = 6,21 м
-------------------------
Если использовать Формулу Гюйгенса, то BF = 5,94 м но это приближенно.
Какое Ваше мнение, можно ли решить эту задачу точно без испольования числ. методов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хорда дуга
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 15:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5894
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
2155 раз в 1994 сообщениях
Очков репутации: 309

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня радиус получился 206.885 м, а соответствующий центральный угол 0.488 рад. Соответствующая высота 6.133 м. Решал в Mathcad и вряд ли эту задачу можно решить без использования численных методов!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
igor_vas_rusakov
 Заголовок сообщения: Re: Хорда дуга
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 15:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 сен 2014, 17:24
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо Michel, удивительно но задачу предлагалось решить старшеклассникам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хорда дуга
СообщениеДобавлено: 21 фев 2021, 16:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5894
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
2155 раз в 1994 сообщениях
Очков репутации: 309

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что удивительного? В школе есть предмет "Информатика", где эти задачи можно решать численными методами, например, с помощью Excel.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хорда дуга
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 16:59 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 943
Cпасибо сказано: 149
Спасибо получено:
505 раз в 411 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача нахождения угла и радиуса дуги окружности по известным длинам дуги L и хорды H сводится к нахождению корня трансцендентного уравнения:
[math]\sin a = k \cdot a[/math]
(1)

где [math]k = \frac{H}{L};\quad a[/math] - половина искомого угла дуги.
После нахождения значения угла находим радиус дуги: [math]R = \frac{L}{{2a}}[/math] и подъем дуги (расстояние от вершины дуги до хорды): [math]d = R \cdot (1 - \cos a)[/math].

Корень (1) удобно вычислять методом Ньютона. В качестве начального приближения для угла возьмём:
[math]{a_0}= \sqrt{10 - 2\sqrt{30 \cdot k - 5}}[/math] (В РАДИАНАХ!).
Итерации: [math]{a_{i + 1}}= \frac{{{a_i}\cdot \cos{a_i}- \sin{a_i}}}{{\cos{a_i}- k}}[/math].

После каждой итерации число правильных знаков корня увеличивается примерно вдвое.
Для большинства практических применений можно задавать 5-6 итераций.
Например, для k=100 м/101 м достаточно даже начального приближения, чтобы подсчитать d c точностью ~ 0,013 мм, а после пятой итерации будет уже 175 правильных знаков.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
igor_vas_rusakov
 Заголовок сообщения: Re: Хорда дуга
СообщениеДобавлено: 23 фев 2021, 20:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 сен 2014, 17:24
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
большое спасибо Li6-D, то есть всё таки без численных методов решить точно нельзя.
Я не изучал ЧМ, а решил просто в он-лайне, не понимая сути. Нашёл программу "точный калькулятор". Буду изучать.
Судя по картинке хорошая вещь. Еще раз спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хорда дуга
СообщениеДобавлено: 23 фев 2021, 22:58 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 943
Cпасибо сказано: 149
Спасибо получено:
505 раз в 411 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
igor_vas_rusakov, немного измененный код для калькулятора.
Он выводит на печать как начальное приближение для угла дуги, так и результат всех итераций.
Начальное приближение работает для [math]\frac{1}{6} \geqslant k > 1[/math].
Чтобы можно было подсчитать и для меньших значений k, добавил функцию модуля (abs).
Изучайте, точность калькулятора позволяет почувствовать, как работает метод Ньютона.
H=100;
L=101;
/*Решение уравнения sin(a)=k*a методом Ньютона*/
k=H/L;
n=5;/*Число итераций*/
a=abs sqrt(10-2*sqrt(30*k-5));/*Начальное приближение для корня а*/
print "Угол дуги в радианах:", 2*a;
a=(a*cos a-sin a)/(cos a-k);/*Итерация по Ньютону*/
print 2*a;
if(n--,gotor-2,0);
print "Радиус дуги:", R=L/2/a;
print "Подъем дуги:", d=R*(1-cos a);

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
igor_vas_rusakov
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Окружность и хорда

в форуме Геометрия

Fsq

11

744

20 апр 2013, 19:26

Хорда и окружность

в форуме Геометрия

Grig777

4

141

13 май 2018, 10:36

Хорда в параболе

в форуме Геометрия

leonidzilb

8

148

21 ноя 2020, 22:03

Вычислить интеграл, где L - это дуга параметрической кривой

в форуме Интегральное исчисление

Morkovka

13

1339

05 апр 2011, 20:38

Дуга эллипса по проекции (практическо-теоретическое зад-е)

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

AAANorilsk

9

275

24 июл 2017, 22:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved