Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 18:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5703
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
879 раз в 837 сообщениях
Очков репутации: 164

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Просматривая книгу по элементарной математике, понял, что я эту математику не знаю. Возможно задача не олимпиадная. Но я её не решил.


Докажите, что если

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \cos x + \cos y + \cos z = 0, \\
& \sin x + \sin y + \sin z = 0,
\end{aligned}\right.[/math]


то [math]\sin 3x =\sin 3y = \sin 3z[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 19:32 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4063
Cпасибо сказано: 118
Спасибо получено:
1406 раз в 1308 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из этой системы нетрудно вывести, что [math]sin2x+sin2y+sin2z=0[/math]. Пока остановился на этом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 20:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1292
Cпасибо сказано: 311
Спасибо получено:
266 раз в 226 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Немного преобразуем исходную систему:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \cos^2{x}=(\cos{y}+\cos{z})^2 \\
& \sin^2{x}=(\sin{y}+\sin{z})^2
\end{aligned}\right.[/math]


Сложим почленно оба равенства:

[math]1=2+2(\cos{y}\cos{z}+\sin{y}\sin{z})[/math], откуда [math]\cos{(y-z)}=-\frac{1}{2}[/math]

Следовательно, [math]y-z= \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n[/math], где [math]n[/math] - целое.

Тогда [math]3y-3z= \pm 2\pi+6\pi n[/math], из чего заключаем, что [math]\sin{3y}=\sin{3z}[/math]

Ну, и, естественно, из соображений симметрии получаем [math]\sin{3x}=\sin{3z}[/math]
searcher, похоже, что всё достаточно элементарно и не выходит за рамки 9-го класса средней школы. На олимпиадную явно не тянет. Так что надо попросить модераторов перенести её в "Школьную тригонометрию".


Последний раз редактировалось Gagarin 30 ноя 2019, 20:56, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 20:55 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4063
Cпасибо сказано: 118
Спасибо получено:
1406 раз в 1308 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добавлю (не в собственное оправдание) - уже лет десять в программе основной школы нет ни формул сложения, ни тригонометрических уравнений общего вида. Оставили только самые элементы из тригонометрии прямоугольного треугольника. Нет даже формул для удвоенного аргумента!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 20:59 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1292
Cпасибо сказано: 311
Спасибо получено:
266 раз в 226 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
уже лет десять в программе основной школы нет ни формул сложения, ни тригонометрических уравнений общего вида...Нет даже формул для удвоенного аргумента!
michel
Вы что, смеётесь? Я Вам не верю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
FEBUS
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 21:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5703
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
879 раз в 837 сообщениях
Очков репутации: 164

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
searcher, похоже, что всё достаточно элементарно и не выходит за рамки 9-го класса средней школы.

Тут дело обстояло так. Посмотрев на эту систему в течении минуты полторы, у меня вообще не возникло никаких мыслей (Печаль, конечно :cry: . Надо было хотя бы ручку в руки взять.). Посмотрел решение в книге. Подумал - ну ничего себе? Решил, что до книжного решения не додумался бы. Поэтому и опубликовал задачу тут. Решение в книге примерно такое. Положим [math]u=\cos x +i \sin x[/math] , [math]v=\cos y + i \sin y[/math] , [math]w=\cos z + i\sin z[/math] . Тогда [math]u+v+w=0[/math] , [math]|u|=|v|=|w|=1[/math] . Значит угол между [math]u[/math] и [math]v[/math] (тут можно взять любую другую пару) равен [math]2\pi \slash 3[/math] .
И дело не в олимпиадности и сложности. Я помощи и намёков не прошу. Поэтому и тут разместил. А простых задач в этом разделе достаточно. Задним умом сейчас сообразил, что если есть элементарное решение через комплексные числа, то должно быть и решение такого же уровня сложности и без оных чисел. Ведь это просто другой язык.


Последний раз редактировалось searcher 30 ноя 2019, 21:37, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 21:37 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 18762
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1339
Спасибо получено:
3995 раз в 3710 сообщениях
Очков репутации: 728

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Если не было олимпиады, в которой предлагалась эта задача, то нет резона помещать её в таком разделе. Я перенёс её в другой раздел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 22:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1292
Cпасибо сказано: 311
Спасибо получено:
266 раз в 226 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Решение в книге примерно такое.
searcher
А ведь Ваше решение через комплексные числа намного проще.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 22:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 4063
Cпасибо сказано: 118
Спасибо получено:
1406 раз в 1308 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
michel писал(а):
уже лет десять в программе основной школы нет ни формул сложения, ни тригонометрических уравнений общего вида...Нет даже формул для удвоенного аргумента!
michel
Вы что, смеётесь? Я Вам не верю.

Странно, что Вы об этом до сих пор не знаете! Начала тригонометрии в 9 классе выкинули после введения в школьную программу начал теории вероятностей. Речь идет о стандартной программе математики основной школы (5-9 классы)!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическая система
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2019, 23:55 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 809
Cпасибо сказано: 148
Спасибо получено:
187 раз в 148 сообщениях
Очков репутации: 4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Начала тригонометрии в 9 классе выкинули после введения в школьную программу начал теории вероятностей. Речь идет о стандартной программе математики основной школы (5-9 классы)!

Ничего не выкинули. Три главы программы 10-го класса тригонометрия.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Тригонометрическая система

в форуме Тригонометрия

Veronica31415

3

169

24 май 2019, 16:53

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

в форуме Тригонометрия

Arifmet

1

115

09 май 2019, 12:01

Тригонометрическая система

в форуме Тригонометрия

kosov

1

193

13 янв 2016, 13:43

Тригонометрическая система уравнений

в форуме Тригонометрия

Aziza

4

348

26 июл 2015, 17:12

Тригонометрическая система с параметром

в форуме Тригонометрия

Arifmet

7

135

19 май 2019, 13:23

Тригонометрическая система с выкалыванием точек

в форуме Тригонометрия

CROSP

2

246

15 янв 2012, 00:18

Смешанная тригонометрическая система с неравенством

в форуме Тригонометрия

sharp

4

567

21 ноя 2010, 17:44

Тригонометрическая функция

в форуме Тригонометрия

nikita0008

16

975

27 ноя 2010, 18:29

Тригонометрическая форма

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Adel2015

1

116

29 окт 2016, 22:05

Тригонометрическая форма

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

oksi

13

717

22 янв 2014, 09:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved