Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что одна серия решений входит в другую
СообщениеДобавлено: 07 сен 2019, 20:34 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 224
Cпасибо сказано: 151
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте,

для уравнения
[math]\cos x\cos5x=0[/math]
получил две серии решений:

[math]\left[\begin{gathered}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\hfill\\
x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5},k\in Z\hfill
\end{gathered}
\right.[/math]


Хочу доказать, что первая серия входит во вторую. Правильно ли я рассуждаю?

Рассмотрим решения из первой серии на промежутке [math]\left[0;2\pi\right)[/math].

[math]x=\frac{\pi}{2}[/math]


[math]\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}=\frac{\pi}{2},k\in Z\Leftrightarrow\pi+2\pi k=5\pi\Leftrightarrow2\pi k=4\pi\Rightarrow k=2[/math]


Целочисленное решение существует и, таким образом, это решение входит во вторую серию.

[math]x=\frac{3\pi}{2}[/math]


[math]\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}=\frac{3\pi}{2},k\in Z\Leftrightarrow\pi+2\pi k=15\pi\Leftrightarrow2\pi k=14\pi\Rightarrow k=7[/math]


Целочисленное решение существует и, таким образом, и это решение входит во вторую серию.

Значит, вся первая серия решений входит во вторую.

Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что одна серия решений входит в другую
СообщениеДобавлено: 07 сен 2019, 21:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 18569
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1312
Спасибо получено:
3964 раз в 3679 сообщениях
Очков репутации: 726

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper
По-моему, приравняв друг к другу правые части указанных Вами выражений, мы получим, что [math]k=5n+2.[/math] Отсюда и следует требуемое, если я не ошибаюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что одна серия решений входит в другую
СообщениеДобавлено: 07 сен 2019, 21:54 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 2854
Cпасибо сказано: 458
Спасибо получено:
815 раз в 699 сообщениях
Очков репутации: 136

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper писал(а):
Здравствуйте,

для уравнения
[math]\cos x\cos5x=0[/math]
получил две серии решений:

[math]\left[\begin{gathered}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\hfill\\
x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5},k\in Z\hfill
\end{gathered}
\right.[/math]


Хочу доказать, что первая серия входит во вторую.

Я бы рассуждал короче. Легко (простой подстановкой) показать, что [math]cos5x=0[/math] для всех х из первой серии [math]x=\frac{ \pi }{ 2 }+ \pi n[/math]. Отсюда вывод, что вся первая серия является частью второй.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
alekscooper, Andy
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что одна серия решений входит в другую
СообщениеДобавлено: 07 сен 2019, 23:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1897
Cпасибо сказано: 62
Спасибо получено:
552 раз в 532 сообщениях
Очков репутации: 184

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]alekscooper,[/math]
[math]\cos{5x} =\cos{(2x+3x)}=\cos{2x} \cdot \cos{3x}-\sin{2x} \cdot \sin{3x} =\cos{2x} \cdot( \cos{x}\cos{2x}- \sin{x} \cdot 2\sin{x}\cos{x} )-2\sin{x}\cos{x}\sin{3x} =[/math]
[math]= \cos{x} \cdot \left( \cos^2{2x} -2\sin^2{x} -2\sin{x}\sin{3x} \right)[/math]
Из этого следует, что каждое решение [math]\cos{x} =0[/math], является и решение [math]\cos{5x} = 0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что одна серия решений входит в другую
СообщениеДобавлено: 08 сен 2019, 11:07 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 224
Cпасибо сказано: 151
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
alekscooper
По-моему, приравняв друг к другу правые части указанных Вами выражений, мы получим, что [math]k=5n+2.[/math] Отсюда и следует требуемое, если я не ошибаюсь.


Я так делал, но у меня тут один вопрос возник походу: получив, что [math]k=5n+2[/math], мы показали, что [math]k[/math] - это целое число при любом целом [math]n[/math].

Но разве у нас тут не стоит обратная задача - показать, что [math]n[/math] целое при любом [math]k[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что одна серия решений входит в другую
СообщениеДобавлено: 08 сен 2019, 11:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 18569
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1312
Спасибо получено:
3964 раз в 3679 сообщениях
Очков репутации: 726

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper
Вы определили [math]n[/math] как целое число, когда описали первую серию решений. Проверьте, что при этом "чаще" изменяется, [math]n[/math] или [math]k.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что одна серия решений входит в другую
СообщениеДобавлено: 08 сен 2019, 12:57 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 224
Cпасибо сказано: 151
Спасибо получено:
10 раз в 10 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
alekscooper
Вы определили [math]n[/math] как целое число, когда описали первую серию решений. Проверьте, что при этом "чаще" изменяется, [math]n[/math] или [math]k.[/math]


Понял, спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю alekscooper "Спасибо" сказали:
Andy
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Входит ли первая серия в любую из двух других?

в форуме Тригонометрия

alekscooper

2

80

29 сен 2019, 13:31

Откуда в ответе 2 серии решений и одна - с арктангенсом?

в форуме Тригонометрия

alekscooper

4

87

01 сен 2019, 10:53

Доказать, что одна из первообразных четной функции является

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Andruha11

1

789

03 апр 2014, 14:56

Доказать, что уравнение не имеет решений

в форуме Тригонометрия

oltina

1

461

20 фев 2011, 17:47

Доказать, что множество решений неравенства

в форуме Алгебра

deman-xxx

3

460

06 июл 2011, 11:39

Доказать, что уравнение не имеет решений

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

2

372

16 авг 2017, 11:03

Если a и b взаимно простые числа, то 1 входит ли

в форуме Теория чисел

afraumar

4

524

02 сен 2013, 15:24

Серия обратных событий

в форуме Теория вероятностей

Yura_St

6

265

19 окт 2015, 21:05

Проводится серия независимых испытаний до первого появления

в форуме Теория вероятностей

tanyhaftv

8

160

18 ноя 2018, 15:42

Монету бросают до тех пор, пока не будет зафиксирована серия

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Dia2018

24

169

22 сен 2019, 00:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved