Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Arsooha |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
AGN |
|
|
Нарисуйте прямоугольный треугольник с вертикальным катетом [math]b[/math], горизонтальным [math]a[/math], гипотенузой [math]c[/math] и острым углом (справа снизу) [math]\alpha[/math]. По определению, [math]\operatorname{tg}{ \alpha } = \frac{ b }{ a }[/math], а [math]\sin{ \alpha } = \frac{ b }{ c } = \frac{ b }{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } } = \frac{ \frac{ b }{ a } }{ \frac{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } }{ a } } = \frac{ \frac{ b }{ a } }{ \sqrt{1 + \left( \frac{ b }{ a } \right)^{2} } }[/math]
Отсюда [math]\sin{\left( \operatorname{arctg}x \right) } = \frac{ x }{\sqrt{ 1 + x^{2}} }[/math] Осталось заменить [math]x[/math] на [math]2x[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Arsooha писал(а): Помогите доказать следующее равенство: [math]arcsin\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right)=arctg(2x)[/math] На самом деле имеет место несколько иное равенство: [math]arcsin\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right)=2arctg(x)[/math]. Положим [math]x=tg\alpha[/math], подставим в проверяемое равенство слева и справа [math]arcsin\left( \frac{ 2tg \alpha }{ 1+tg^2 \alpha } \right)=2arctg(tg \alpha )[/math], получаем [math]arcsin(sin2 \alpha )=2arctg(tg \alpha ) \Rightarrow 2 \alpha =2 \alpha[/math], т.е. равенство верно. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Tantan |
||
Tantan |
|
|
[math]Arsooha,[/math]
Верное равенство, как уже отметил [math]michel[/math] , не то что Вы написали а : [math]\arcsin{\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right) } =2\operatorname{arctg}(x)[/math]. Eсли откройте таблицу связи тригонометрическиe и обратные тригонометрические ф-ии увидите что : 1)[math]\sin{\left( \operatorname{arctg}(x) \right) } =\frac{ x }{ \sqrt{1+x^2} }[/math]; 2)[math]\cos{\left( \operatorname{arctg}(x) \right)} = \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2} }[/math]; Имея в виду что: [math]\sin{(2x)} =2\sin{x} \cdot \cos{x}[/math]; получим что : [math]\sin{\arcsin{\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right) } } =\frac{ 2x }{ 1+x^2}[/math]; [math]\sin{\left( 2\operatorname{arctg}(x) \right) } =2\sin{\left( \operatorname{arctg}(x) \right) } \cdot \cos{\left(\operatorname{arctg}(x) \right) } =[/math] [math]=2 \cdot \frac{ x }{ \sqrt{1+x^2} } \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2} }=\frac{ 2x }{ 1+x^2 }[/math] Так что справедливо то, что указал Вам [math]michel[/math]. Последний раз редактировалось Tantan 16 май 2019, 17:10, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
AGN писал(а): Осталось заменить [math]x[/math] на [math]2x[/math]. Если сделаете это, то получите [math]\frac{ 2x }{ \sqrt{1+4x^2} }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
asahi |
|
|
Это равенство справедливо не для всех x. Наверное, должно быть как-то так:
[math]arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2arctgx, \; |x|\leq 1[/math] [math]arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\pi-2arctgx, \; x>1[/math] [math]arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=-\pi-2arctgx, \; x<-1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий | 1 |
557 |
22 сен 2015, 14:35 |
|
Доказать равенство | 4 |
509 |
16 апр 2014, 04:11 |
|
Доказать равенство
в форуме Тригонометрия |
1 |
261 |
22 апр 2020, 18:02 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
0 |
185 |
06 мар 2022, 17:42 |
|
Доказать равенство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
374 |
17 дек 2014, 22:04 |
|
Доказать равенство | 3 |
263 |
01 май 2022, 09:15 |
|
Доказать равенство | 1 |
300 |
09 сен 2021, 16:09 |
|
Доказать равенство | 4 |
189 |
11 янв 2020, 23:45 |
|
Доказать равенство
в форуме Алгебра |
9 |
556 |
05 янв 2018, 20:22 |
|
Доказать равенство
в форуме Ряды |
3 |
272 |
05 окт 2019, 14:51 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |