Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 16 май 2019, 14:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 май 2019, 01:42
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите доказать следующее равенство: [math]arcsin\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right)=arctg(2x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 16 май 2019, 15:12 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нарисуйте прямоугольный треугольник с вертикальным катетом [math]b[/math], горизонтальным [math]a[/math], гипотенузой [math]c[/math] и острым углом (справа снизу) [math]\alpha[/math]. По определению, [math]\operatorname{tg}{ \alpha } = \frac{ b }{ a }[/math], а [math]\sin{ \alpha } = \frac{ b }{ c } = \frac{ b }{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } } = \frac{ \frac{ b }{ a } }{ \frac{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } }{ a } } = \frac{ \frac{ b }{ a } }{ \sqrt{1 + \left( \frac{ b }{ a } \right)^{2} } }[/math]

Отсюда [math]\sin{\left( \operatorname{arctg}x \right) } = \frac{ x }{\sqrt{ 1 + x^{2}} }[/math]

Осталось заменить [math]x[/math] на [math]2x[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 16 май 2019, 15:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Arsooha писал(а):
Помогите доказать следующее равенство: [math]arcsin\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right)=arctg(2x)[/math]

На самом деле имеет место несколько иное равенство: [math]arcsin\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right)=2arctg(x)[/math]. Положим [math]x=tg\alpha[/math], подставим в проверяемое равенство слева и справа [math]arcsin\left( \frac{ 2tg \alpha }{ 1+tg^2 \alpha } \right)=2arctg(tg \alpha )[/math], получаем [math]arcsin(sin2 \alpha )=2arctg(tg \alpha ) \Rightarrow 2 \alpha =2 \alpha[/math], т.е. равенство верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 16 май 2019, 17:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Arsooha,[/math]
Верное равенство, как уже отметил [math]michel[/math] , не то что Вы написали а :
[math]\arcsin{\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right) } =2\operatorname{arctg}(x)[/math].
Eсли откройте таблицу связи тригонометрическиe и обратные тригонометрические ф-ии увидите что :
1)[math]\sin{\left( \operatorname{arctg}(x) \right) } =\frac{ x }{ \sqrt{1+x^2} }[/math];
2)[math]\cos{\left( \operatorname{arctg}(x) \right)} = \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2} }[/math];
Имея в виду что:
[math]\sin{(2x)} =2\sin{x} \cdot \cos{x}[/math];
получим что :
[math]\sin{\arcsin{\left( \frac{ 2x }{ 1+x^2 } \right) } } =\frac{ 2x }{ 1+x^2}[/math];
[math]\sin{\left( 2\operatorname{arctg}(x) \right) } =2\sin{\left( \operatorname{arctg}(x) \right) } \cdot \cos{\left(\operatorname{arctg}(x) \right) } =[/math]
[math]=2 \cdot \frac{ x }{ \sqrt{1+x^2} } \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{1+x^2} }=\frac{ 2x }{ 1+x^2 }[/math]
Так что справедливо то, что указал Вам [math]michel[/math].


Последний раз редактировалось Tantan 16 май 2019, 17:10, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 16 май 2019, 17:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN писал(а):
Осталось заменить [math]x[/math] на [math]2x[/math].

Если сделаете это, то получите [math]\frac{ 2x }{ \sqrt{1+4x^2} }[/math] :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство
СообщениеДобавлено: 16 май 2019, 18:55 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
04 май 2019, 20:14
Сообщений: 316
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
73 раз в 73 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это равенство справедливо не для всех x. Наверное, должно быть как-то так:
[math]arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2arctgx, \; |x|\leq 1[/math]
[math]arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\pi-2arctgx, \; x>1[/math]
[math]arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=-\pi-2arctgx, \; x<-1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SergeyYsm

1

557

22 сен 2015, 14:35

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

BezdnaIrina

4

509

16 апр 2014, 04:11

Доказать равенство

в форуме Тригонометрия

Bastun

1

261

22 апр 2020, 18:02

Доказать равенство

в форуме Ряды

sweet_cheeks

0

185

06 мар 2022, 17:42

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PolushkinaAA

4

374

17 дек 2014, 22:04

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Liza_P

3

263

01 май 2022, 09:15

Доказать равенство

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Sykes

1

300

09 сен 2021, 16:09

Доказать равенство

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Mobile

4

189

11 янв 2020, 23:45

Доказать равенство

в форуме Алгебра

nikitalyutenko

9

556

05 янв 2018, 20:22

Доказать равенство

в форуме Ряды

Ntallii

3

272

05 окт 2019, 14:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved