Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
gfibr |
|
|
[math]\sqrt{sinx \cdot sin(z-y) }[/math] + [math]\sqrt{siny \cdot sin(z-x) }[/math] Помогите, пожалуйста |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Раз треугольник, то можно принять [math]z=\pi-x-y[/math]. Если подставить и упростить, то нужно искать максимум функции
[math]\sqrt{\sin(x)\cdot \sin(x+2y)}+ \sqrt{\sin(y)\cdot \sin(2x+y)}[/math] Я численно анализировал эту функцию и выяснил, что максимум наблюдаем при x=y Следовательно, ищем максимум функции [math]F=2\sqrt{\sin(x)\cdot \sin(3x)}[/math] График функции https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(2*sqrt(sin(x)*sin(3x)),x%3D0.6..0.7) Видно, что экстремум равен 1.5 при [math]x=y\approx 0.659[/math] Чтобы точней найти значения x и y , следует взять производную и приравнять нулю. То есть [math]\frac{\sin(2x)-2\sin(4x)}{\sqrt{\sin(x)\cdot \sin(3x)}}=0[/math] Тогда [math]x=y=\operatorname{arctg \left ( \sqrt{\frac 35}\right )}\approx 0.659058[/math] Но тут облом. Это примерно 37,76 град. Тогда угол z = 104.48 град. А это больше 90. Значит, нужно другой экстремум искать... Тем не менее, Вольфрам именно этот ответ даёт https://www.wolframalpha.com/input/?i=max(sqrt(sin(x)*sin(x%2B2y))%2Bsqrt(sin(y)*sin(2x%2By)))+where+x%3C%3Dpi%2F2+and+y%3C%3Dpi%2F2 Видимо, придется задать z=90 град и решать этот прямоугольный треугольник. Если так принять, то [math]y=\frac{\pi}{2}-x[/math] и нужно уже искать максимум функции [math]|\sin(x)|+|cos(x)|[/math] А это просто: [math]x=\frac{\pi}{4}[/math] максимум функции равен [math]\sqrt{2}[/math] Скорее всего это и есть ответ. |
||
Вернуться к началу | ||
vovic |
|
|
gfibr писал(а): Числа x, y,z - углы треугольника, причем больший угол z не превосходит [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] . Найдите максимальное значение выражения: [math]\sqrt{sinx \cdot sin(z-y) }[/math] + [math]\sqrt{siny \cdot sin(z-x) }[/math] Помогите, пожалуйста Откуда задача? |
||
Вернуться к началу | ||
gfibr |
|
|
vovic
Сборник задач Нагорнова |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
gfibr писал(а): Сборник задач Нагорнова А можно по подробней? Как книга называется? Какой параграф? Какой номер задачи? |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
[math]gfibr,[/math]
Если [math]a_{1},a_{2}[/math] и [math]b_{1},b_{2}[/math] , произвольные действительные числа то согласно неравенства Коши-Буняковского будем иметь : [math](a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2})^2\leqslant (a^2_{1} + a^2_{2}) \cdot (b^2_{1} + b^2_{2})[/math] [math]\Rightarrow a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} \leqslant \sqrt{a^2_{1} + a^2_{2}} \cdot \sqrt{b^2_{1} + b^2_{2}}[/math] 1)Если сообразить что :[math]\sqrt{\sin{x} \cdot \sin{(z-y)} } + \sqrt{\sin{y} \cdot \sin{(z-x)} }= \sqrt{\sin{x}} \cdot \sqrt{\sin{(z-y)}} + \sqrt{\sin{y}} \cdot \sqrt{\sin{(z-x)}}[/math], иметь в виду последнего вида неравенства Коши-Буняковского, положим [math]a_{1} = \sqrt{\sin{x}}, a_{2} = \sqrt{\sin{y}}, b_{1} = \sqrt{\sin{(z-y)}},b_{2} = \sqrt{\sin{(z-x)}}[/math] получим : 2) [math]\sqrt{\sin{x} \cdot \sin{(z-y)} } + \sqrt{\sin{y} \cdot \sin{(z-x)} }= \sqrt{\sin{x}} \cdot \sqrt{\sin{(z-y)}} + \sqrt{\sin{y}} \cdot \sqrt{\sin{(z-x)}} \leqslant[/math] [math]\leqslant \sqrt{\sin{x} +\sin{y} } \cdot \sqrt{\sin{(z-y)} + \sin{(z-x)}} =[/math] [math]=\sqrt{2\sin{(\frac{ x+y }{ 2 }) } \cdot \cos{(\frac{ x-y }{ 2 }) } } \cdot \sqrt{2\sin{\frac{( 2z-(x+y)) }{ 2 } } \cdot \cos{(\frac{ x-y }{ 2 } )} }[/math] Из последнего видно, что саммое большое значение для [math]\cos{\frac{ x-y }{ 2 } }[/math], достигается при [math]x = y[/math] , тогда : [math]\cos{(\frac{ x-y }{ 2 } )} = \cos{0} = 1[/math] , но по условие [math]z \leqslant \frac{ \pi }{ 2 }, x+y+z = \pi \Rightarrow x=y=\frac{ \pi }{ 4 }[/math] , тогда : [math]max\left( \sqrt{2\sin{(\frac{ x+y }{ 2 }) } \cdot \cos{\frac{ x-y }{ 2 } } } \cdot \sqrt{2\sin{\frac{( 2z-(x+y)) }{ 2 } } \cdot \cos{(\frac{ x-y }{ 2 } )} } \right) =[/math] [math]= \sqrt{2 \cdot \sin{\frac{ \pi }{ 4 }} \cdot \cos{0} } \cdot \sqrt{2 \cdot \sin{\frac{ \pi }{ 4 }} \cdot \cos{0} } =\left( \sqrt{2 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot 1 } \right) \cdot \left( \sqrt{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1} \right) =\sqrt{\sqrt{2} } \cdot \sqrt{\sqrt{2} }=\sqrt{2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: pewpimkin |
||
vovic |
|
|
[quote="Tantan"][math]gfibr,[/math]
Если [math]a_{1},a_{2}[/math] и [math]b_{1},b_{2}[/math] , произвольные действительные числа то согласно неравенства Коши-Буняковского будем иметь : Да, конечно, неравенство Коши-Буняковского входит в школьную программу. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
vovic писал(а): Tantan писал(а): [math]gfibr,[/math] Если [math]a_{1},a_{2}[/math] и [math]b_{1},b_{2}[/math] , произвольные действительные числа то согласно неравенства Коши-Буняковского будем иметь : Да, конечно, неравенство Коши-Буняковского входит в школьную программу. Зря Вы ехидничите! Не надо быть гениям, что доказать(проверить), что [math](a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2})^2 \leqslant (a^2_{1} +a^2_{2}) \cdot (b^2_{1} +b^2_{2})[/math] : Если : [math]A=(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2})^2 = a^2_{1}b^2_{1} + 2a_{1}b_{1} a_{2}b_{2}+a^2_{2}b^2_{2}[/math] [math]B =(a^2_{1} +a^2_{2}) \cdot (b^2_{1} +b^2_{2}) =a^2_{1}b^2_{1} +a^2_{2}b^2_{1}+a^2_{1}b^2_{2}+a^2_{2}b^2_{2}[/math] Тогда : [math]B - A = a^2_{1}b^2_{2} - 2a_{1}b_{1} a_{2}b_{2}+a^2_{2}b^2_{1} =(a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})^2 \geqslant 0 \Rightarrow B \geqslant A[/math] Можно ни о Коши, ни о Буняковского ничего не знать! |
||
Вернуться к началу | ||
vovic |
|
|
Tantan Никто и не думал ехидничать. Вам просто намекают , что задачу надо решать школьными методами. Задача явно олимпиадного уровня. Сейчас проходит много вступительных олимпиад и прежде чем решать задачу надо убеждаться, что это не текущая задача. Не мешает также спросить мысли ТС о ходе решения, чтобы не плодить неучей! То что Вы эту задачу можете решить я уже понял. Но в данном случае должен решить ТС.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю vovic "Спасибо" сказали: Gagarin |
||
Tantan |
|
|
vovic писал(а): Не мешает также спросить мысли ТС о ходе решения, чтобы не плодить неучей! То что Вы эту задачу можете решить я уже понял. Но в данном случае должен решить ТС Если Вы это не заметили, должен сказать, что раньше меня эту задачу уже решил [math]Avgust[/math]! Я только дал другой вариант решения и в него нет ничего, что не можно доказать или объяснить через средства извне школьная математика! |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти наибольшее возможное значение выражения
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
282 |
04 мар 2021, 16:08 |
|
Найдите наибольшее значение выражения | 34 |
839 |
09 ноя 2022, 16:48 |
|
Чему равно наибольшее значение выражения? | 9 |
430 |
18 янв 2020, 10:34 |
|
Найти наибольшее значение функции
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
35 |
827 |
14 июл 2017, 13:41 |
|
Найти наибольшее значение функции
в форуме Алгебра |
4 |
706 |
05 июн 2015, 08:46 |
|
Найти наименьшее и наибольшее значение
в форуме Дифференциальное исчисление |
20 |
1883 |
05 авг 2015, 21:32 |
|
Найти наибольшее значение функции
в форуме Численные методы |
6 |
935 |
18 фев 2019, 19:37 |
|
Как найти наибольшее значение функции?
в форуме Тригонометрия |
4 |
698 |
28 мар 2019, 16:12 |
|
Найти наибольшее и наименьшее значение
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
581 |
20 май 2014, 18:40 |
|
Найти наибольшее и наименьшее значение
в форуме Дифференциальное исчисление |
9 |
384 |
01 дек 2017, 17:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |