Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 17:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 мар 2019, 18:12
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Числа x, y,z - углы треугольника, причем больший угол z не превосходит [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] . Найдите максимальное значение выражения:
[math]\sqrt{sinx \cdot sin(z-y) }[/math] + [math]\sqrt{siny \cdot sin(z-x) }[/math]
Помогите, пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 19:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 11522
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 966
Спасибо получено:
3280 раз в 2867 сообщениях
Очков репутации: 632

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Раз треугольник, то можно принять [math]z=\pi-x-y[/math]. Если подставить и упростить, то нужно искать максимум функции
[math]\sqrt{\sin(x)\cdot \sin(x+2y)}+ \sqrt{\sin(y)\cdot \sin(2x+y)}[/math]

Я численно анализировал эту функцию и выяснил, что максимум наблюдаем при x=y

Следовательно, ищем максимум функции [math]F=2\sqrt{\sin(x)\cdot \sin(3x)}[/math]

График функции https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot(2*sqrt(sin(x)*sin(3x)),x%3D0.6..0.7)

Видно, что экстремум равен 1.5 при [math]x=y\approx 0.659[/math]

Чтобы точней найти значения x и y , следует взять производную и приравнять нулю.

То есть [math]\frac{\sin(2x)-2\sin(4x)}{\sqrt{\sin(x)\cdot \sin(3x)}}=0[/math]

Тогда [math]x=y=\operatorname{arctg \left ( \sqrt{\frac 35}\right )}\approx 0.659058[/math]

Но тут облом. Это примерно 37,76 град. Тогда угол z = 104.48 град. А это больше 90. Значит, нужно другой экстремум искать...

Тем не менее, Вольфрам именно этот ответ даёт
https://www.wolframalpha.com/input/?i=max(sqrt(sin(x)*sin(x%2B2y))%2Bsqrt(sin(y)*sin(2x%2By)))+where+x%3C%3Dpi%2F2+and+y%3C%3Dpi%2F2
Видимо, придется задать z=90 град и решать этот прямоугольный треугольник.
Если так принять, то [math]y=\frac{\pi}{2}-x[/math] и нужно уже искать максимум функции

[math]|\sin(x)|+|cos(x)|[/math]
А это просто: [math]x=\frac{\pi}{4}[/math] максимум функции равен [math]\sqrt{2}[/math]

Скорее всего это и есть ответ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 22:32 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 19:05
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
13 раз в 13 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
gfibr писал(а):
Числа x, y,z - углы треугольника, причем больший угол z не превосходит [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] .

Найдите максимальное значение выражения:

[math]\sqrt{sinx \cdot sin(z-y) }[/math] + [math]\sqrt{siny \cdot sin(z-x) }[/math]

Помогите, пожалуйста


Откуда задача?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 15 мар 2019, 05:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 мар 2019, 18:12
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vovic
Сборник задач Нагорнова

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 15 мар 2019, 11:33 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5626
Cпасибо сказано: 60
Спасибо получено:
869 раз в 829 сообщениях
Очков репутации: 162

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
gfibr писал(а):
Сборник задач Нагорнова

А можно по подробней? Как книга называется? Какой параграф? Какой номер задачи?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 15 мар 2019, 12:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1848
Cпасибо сказано: 60
Спасибо получено:
542 раз в 522 сообщениях
Очков репутации: 184

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]gfibr,[/math]
Если [math]a_{1},a_{2}[/math] и [math]b_{1},b_{2}[/math] , произвольные действительные числа то согласно неравенства Коши-Буняковского будем иметь :
[math](a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2})^2\leqslant (a^2_{1} + a^2_{2}) \cdot (b^2_{1} + b^2_{2})[/math]

[math]\Rightarrow a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} \leqslant \sqrt{a^2_{1} + a^2_{2}} \cdot \sqrt{b^2_{1} + b^2_{2}}[/math]
1)Если сообразить что :[math]\sqrt{\sin{x} \cdot \sin{(z-y)} } + \sqrt{\sin{y} \cdot \sin{(z-x)} }= \sqrt{\sin{x}} \cdot \sqrt{\sin{(z-y)}} + \sqrt{\sin{y}} \cdot \sqrt{\sin{(z-x)}}[/math],
иметь в виду последнего вида неравенства Коши-Буняковского,
положим [math]a_{1} = \sqrt{\sin{x}}, a_{2} = \sqrt{\sin{y}}, b_{1} = \sqrt{\sin{(z-y)}},b_{2} = \sqrt{\sin{(z-x)}}[/math] получим :
2) [math]\sqrt{\sin{x} \cdot \sin{(z-y)} } + \sqrt{\sin{y} \cdot \sin{(z-x)} }= \sqrt{\sin{x}} \cdot \sqrt{\sin{(z-y)}} + \sqrt{\sin{y}} \cdot \sqrt{\sin{(z-x)}} \leqslant[/math]
[math]\leqslant \sqrt{\sin{x} +\sin{y} } \cdot \sqrt{\sin{(z-y)} + \sin{(z-x)}} =[/math]
[math]=\sqrt{2\sin{(\frac{ x+y }{ 2 }) } \cdot \cos{(\frac{ x-y }{ 2 }) } } \cdot \sqrt{2\sin{\frac{( 2z-(x+y)) }{ 2 } } \cdot \cos{(\frac{ x-y }{ 2 } )} }[/math]
Из последнего видно, что саммое большое значение для [math]\cos{\frac{ x-y }{ 2 } }[/math], достигается при [math]x = y[/math] , тогда :
[math]\cos{(\frac{ x-y }{ 2 } )} = \cos{0} = 1[/math] , но по условие [math]z \leqslant \frac{ \pi }{ 2 }, x+y+z = \pi \Rightarrow x=y=\frac{ \pi }{ 4 }[/math] , тогда :

[math]max\left( \sqrt{2\sin{(\frac{ x+y }{ 2 }) } \cdot \cos{\frac{ x-y }{ 2 } } } \cdot \sqrt{2\sin{\frac{( 2z-(x+y)) }{ 2 } } \cdot \cos{(\frac{ x-y }{ 2 } )} } \right) =[/math]
[math]= \sqrt{2 \cdot \sin{\frac{ \pi }{ 4 }} \cdot \cos{0} } \cdot \sqrt{2 \cdot \sin{\frac{ \pi }{ 4 }} \cdot \cos{0} } =\left( \sqrt{2 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot 1 } \right) \cdot \left( \sqrt{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1} \right) =\sqrt{\sqrt{2} } \cdot \sqrt{\sqrt{2} }=\sqrt{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
pewpimkin
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 15 мар 2019, 14:19 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 19:05
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
13 раз в 13 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[quote="Tantan"][math]gfibr,[/math]
Если [math]a_{1},a_{2}[/math] и [math]b_{1},b_{2}[/math] , произвольные действительные числа то согласно неравенства Коши-Буняковского будем иметь :

Да, конечно, неравенство Коши-Буняковского входит в школьную программу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 15 мар 2019, 16:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1848
Cпасибо сказано: 60
Спасибо получено:
542 раз в 522 сообщениях
Очков репутации: 184

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vovic писал(а):
Tantan писал(а):
[math]gfibr,[/math]
Если [math]a_{1},a_{2}[/math] и [math]b_{1},b_{2}[/math] , произвольные действительные числа то согласно неравенства Коши-Буняковского будем иметь :

Да, конечно, неравенство Коши-Буняковского входит в школьную программу.

Зря Вы ехидничите! Не надо быть гениям, что доказать(проверить), что
[math](a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2})^2 \leqslant (a^2_{1} +a^2_{2}) \cdot (b^2_{1} +b^2_{2})[/math] :
Если :
[math]A=(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2})^2 = a^2_{1}b^2_{1} + 2a_{1}b_{1} a_{2}b_{2}+a^2_{2}b^2_{2}[/math]
[math]B =(a^2_{1} +a^2_{2}) \cdot (b^2_{1} +b^2_{2}) =a^2_{1}b^2_{1} +a^2_{2}b^2_{1}+a^2_{1}b^2_{2}+a^2_{2}b^2_{2}[/math]
Тогда :
[math]B - A = a^2_{1}b^2_{2} - 2a_{1}b_{1} a_{2}b_{2}+a^2_{2}b^2_{1} =(a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})^2 \geqslant 0 \Rightarrow B \geqslant A[/math]
Можно ни о Коши, ни о Буняковского ничего не знать!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 15 мар 2019, 16:55 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 19:05
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
13 раз в 13 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan Никто и не думал ехидничать. Вам просто намекают , что задачу надо решать школьными методами. Задача явно олимпиадного уровня. Сейчас проходит много вступительных олимпиад и прежде чем решать задачу надо убеждаться, что это не текущая задача. Не мешает также спросить мысли ТС о ходе решения, чтобы не плодить неучей! То что Вы эту задачу можете решить я уже понял. Но в данном случае должен решить ТС.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vovic "Спасибо" сказали:
Gagarin
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение выражения
СообщениеДобавлено: 15 мар 2019, 21:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1848
Cпасибо сказано: 60
Спасибо получено:
542 раз в 522 сообщениях
Очков репутации: 184

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vovic писал(а):
Не мешает также спросить мысли ТС о ходе решения, чтобы не плодить неучей! То что Вы эту задачу можете решить я уже понял. Но в данном случае должен решить ТС

Если Вы это не заметили, должен сказать, что раньше меня эту задачу уже решил [math]Avgust[/math]! Я только дал другой вариант решения и в него нет ничего, что не можно доказать или объяснить через средства извне школьная математика!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти наибольшее значение тригонометрического выражения

в форуме Тригонометрия

tamerlan

3

1677

31 мар 2011, 12:17

Сократить дробь; найти наибольшее значение выражения

в форуме Алгебра

disnnnka

1

549

12 мар 2014, 17:11

Наименьшее и наибольшее значение выражения

в форуме Алгебра

KLURA

11

4198

10 янв 2011, 18:19

Найти наибольшее значение функции

в форуме Алгебра

oak1996

4

457

05 июн 2015, 08:46

Найти наибольшее значение функции

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Nikita

7

1972

21 июн 2010, 16:29

Найти наибольшее и наименьшее значение

в форуме Дифференциальное исчисление

14_KaPaT

2

241

10 дек 2011, 11:05

Найти наименьшее и наибольшее значение

в форуме Дифференциальное исчисление

Alexand

1

257

11 май 2015, 18:57

Как найти наибольшее значение функции?

в форуме Тригонометрия

Pingvinn

4

169

28 мар 2019, 16:12

Найти наибольшее значение функции

в форуме Численные методы

stargame21

6

164

18 фев 2019, 19:37

Найти наименьшее и наибольшее значение

в форуме Дифференциальное исчисление

Angel029

20

1517

05 авг 2015, 21:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved