Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 13 мар 2019, 22:47 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 145
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте,

дано уравнение:

[math]\sin 3x+\cos 3x=1[/math]

Можно ли его решать, возведя в квадрат левую и правую сторону:

[math]\sin^{2} 3x+2\sin 3x\cos 3x+\cos^{2} 3x=1^2[/math]

Поскольку квадраты слева в сумме дают единицу, получаем

[math]2\sin 3x\cos 3x = 0[/math]

И дальше решаем совокупность двух уравнений, в которых приравнивается к нулю один из множителей.

Вопрос: равносильные ли это преобразования.

Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 13 мар 2019, 23:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 1490
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
265 раз в 243 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, не равносильные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 07:27 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 145
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
Нет, не равносильные.

А можно узнать, почему? Потому что не на всей ОДЗ левая часть всегда больше [math]0[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 08:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3169
Cпасибо сказано: 89
Спасибо получено:
1069 раз в 992 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если Вы возводите уравнение в квадрат, то получаете лишние решения, связанные с другим уравнением [math]sin3x+cos3x=-1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 08:56 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 1490
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
265 раз в 243 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
Совершенно верно. Бесконечно много лишних решений, [math]3x=\pi+2\pi k[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
alekscooper
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 09:21 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 окт 2016, 16:35
Сообщений: 145
Cпасибо сказано: 76
Спасибо получено:
7 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Если Вы возводите уравнение в квадрат, то получаете лишние решения, связанные с другим уравнением [math]sin3x+cos3x=-1[/math].


Понял, спасибо большое!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 09:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4428
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
666 раз в 631 сообщениях
Очков репутации: 145

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper писал(а):
И дальше решаем совокупность двух уравнений, в которых приравнивается к нулю один из множителей.

Ваш подход можно улучшить и на данном этапе перейти к системе
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \sin 3x + \cos 3x =1 \\
& 2 \sin 3x \cos 3x =0
\end{aligned}\right.[/math]

Первое уравнение системы будет отсекать лишние корни. Дальше переходим к совокупности
[math]\left[\!\begin{aligned}
& \sin 3x =1 \\
& \cos 3x = 1
\end{aligned}\right.[/math]
.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 10:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 17811
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1243
Спасибо получено:
3821 раз в 3539 сообщениях
Очков репутации: 715

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper
Воспользуйтесь для решения уравнения формулой
[math]\sin{\alpha}+\cos{\alpha}=\sqrt{2}\cos \left( \frac{\pi}{4}-\alpha \right).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 14:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2457
Cпасибо сказано: 87
Спасибо получено:
788 раз в 628 сообщениях
Очков репутации: 196

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
alekscooper, можно, но осторожно. Возведя в квадрат, как уже сказано, получим посторонние корни. Но их несложно выбраковать. Вы получили

[math]\sin 3x\cos 3x=0\Leftrightarrow[/math] один из множителей ноль, а тогда другой [math]\pm1[/math], единица с минусом отпадает, а с плюсом наша.

Тогда имеем либо [math]\sin 3x=0,\, \cos 3x=1[/math] либо [math]\sin 3x=1,\, \cos 3x=0[/math], откуда [math]3x=2\pi k, \, 3x=\frac\pi2+2\pi k,[/math].
Остаётся последняя операция - делим на 3.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Можно ли возвести в квадрат тригонометрическое уравнение?
СообщениеДобавлено: 14 мар 2019, 22:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 фев 2019, 19:05
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
13 раз в 13 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
alekscooper
Воспользуйтесь для решения уравнения формулой
[math]\sin{\alpha}+\cos{\alpha}=\sqrt{2}\cos \left( \frac{\pi}{4}-\alpha \right).[/math]



Этот вариант более правильный. Не дает лишних решений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что около Каспийского моря можно описать квадрат

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

0

400

01 дек 2012, 23:36

Как можно доказать это уравнение? Если можно то ответ с фото

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

motya

1

389

24 апр 2013, 21:20

Возвести в степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

mb008800

1

210

21 май 2014, 19:10

Возвести матрицу в 49 - ю степень

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Padawan

12

138

06 ноя 2017, 12:28

Комплексное число возвести в степень

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

351w

9

160

31 янв 2019, 05:03

Помогите возвести комплексное число в степень.

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Mishanya

1

277

12 июн 2012, 09:20

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Nabel

1

173

21 янв 2015, 08:34

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Lina11

11

636

22 сен 2013, 16:07

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Andreww

1

105

19 июн 2018, 18:20

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

GOODZM

1

145

13 фев 2016, 23:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved