Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение уравнения вида: a sin(x) = sin(bx)
СообщениеДобавлено: 13 фев 2019, 23:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 фев 2019, 21:50
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение практической задачи расчета арок из камня сводится к решению уравнения

[math]a \sin{x} = \sin{bx}[/math]

Из смысла самой задачи так же вытекает:

[math]a > 1, b > 1, b > a, 0 < {bx} \leqslant \frac{ \pi }{ 2 }[/math]

В частном случае [math]b[/math] целое число 2, 3, ...

Сейчас это уравнение решается численным способом.
Есть ли способ решить его аналитически?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения вида: a sin(x) = sin(bx)
СообщениеДобавлено: 14 фев 2019, 09:23 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3902
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1341 раз в 1246 сообщениях
Очков репутации: 191

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это зависит от конкретных целых значений параметра [math]b[/math]. Правую часть можно представить как алгебраический многочлен степени [math]b[/math] от [math]sinx[/math]. Как хорошо известно, общего аналитического способа решений для алгебраических уравнений степеней выше четвертой не существует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Andrew Folio
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения вида: a sin(x) = sin(bx)
СообщениеДобавлено: 14 фев 2019, 15:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 фев 2019, 21:50
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!
Параметр [math]b[/math] это количество камней в арке и как правило оно больше четырех. Вопрос я задавал больше из спортивного интереса. Нет проблемы решить это уравнение численно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения вида: a sin(x) = sin(bx)
СообщениеДобавлено: 14 фев 2019, 15:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4844
Cпасибо сказано: 78
Спасибо получено:
1045 раз в 949 сообщениях
Очков репутации: 222

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Как хорошо известно, общего аналитического способа решений для алгебраических уравнений степеней выше четвертой не существует.


Вообще-то нет. Уравнения не решаются в радикалах, что совсем не то же самое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решение уравнения вида: a sin(x) = sin(bx)
СообщениеДобавлено: 16 фев 2019, 04:07 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
20 дек 2016, 11:08
Сообщений: 147
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: -5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно так попробовать?

[math]a sin(x) = sin(bx)[/math]

[math]\frac{ sin(bx) }{ sin(x) } - a = 0[/math]

[math]\frac{ \sum\limits_{i=0}^{\left[ \frac{ b - 1 }{ 2 } \right] } (-1)^i C_{b}^{2i + 1} sin^{2i + 1}(x) cos^{b - 2i - 1}(x) }{ sin(x) } - a = 0[/math]

[math]\sum\limits_{i=0}^{\left[ \frac{ b - 1 }{ 2 } \right] } ((-1)^i C_{b}^{2i + 1} sin^{2i}(x) cos^{b - 2i - 1}(x)) - a = 0[/math]

[math]\sum\limits_{i=0}^{\left[ \frac{ b - 1 }{ 2 } \right] } ((-1)^i C_{b}^{2i + 1} (1 - cos^{2}(x))^{i} cos^{b - 2i - 1}(x) ) - a = 0[/math]

[math]y = cos(x)[/math]

[math]\sum\limits_{i=0}^{\left[ \frac{ b - 1 }{ 2 } \right] } ((-1)^i C_{b}^{2i + 1} (1 - y^2)^{i} y^{b - 2i - 1}) - a = 0[/math]

[math]\sum\limits_{i=0}^{\left[ \frac{ b - 1 }{ 2 } \right] } ((-1)^i C_{b}^{2i + 1} \sum\limits_{j = 0}^{i} ((-1)^j C_{i}^{j} y^{2j} ) y^{b - 2i - 1}) - a = 0[/math]

[math]\sum\limits_{i=0}^{\left[ \frac{ b - 1 }{ 2 } \right] } \sum\limits_{j = 0}^{i} ((-1)^{i+j} C_{b}^{2i + 1} C_{i}^{j} y^{b + 2j - 2i - 1} ) - a = 0[/math]

Т.е. при [math]b > 5[/math] получаем уравнение 5 степени и выше, которое как раз в общем виде в радикалах не решается и кирдык

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Fireman "Спасибо" сказали:
Andrew Folio
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференциальные уравнения вида dy/dx= f(ax+b), где a и b

в форуме Интегральное исчисление

oksana

2

229

14 янв 2012, 20:49

Как решить уравнения в вида X0/(X1*X2*X3)=B ?

в форуме Алгебра

pokk

5

197

11 авг 2017, 12:10

Решение уровнений вида tgx= [число]

в форуме Тригонометрия

Fen0men

9

423

06 окт 2016, 15:05

Решение мптричных ур-нений вида X+AXB=C

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

saw13

2

123

07 июн 2018, 18:10

Найти решение системы общего вида

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

TheNAZE

1

269

07 янв 2013, 20:22

Ищу решение уравнений вида sinx=x, cosx+x=1

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

mozarelo

7

206

12 фев 2019, 10:04

Решение задач линейного программирования общего вида.

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Nastya Ivanova

1

449

06 мар 2012, 08:27

Разбор записи вида диф уравнения (общие понятия)

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

marinaqwert

1

87

07 янв 2019, 16:53

Найти общее решение дифф. уравнения и частное решение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

kovcheg

3

616

16 сен 2011, 10:36

Частное решение дифференциального уравнения\общее решение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Swissboy

5

529

06 май 2014, 19:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved