Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сложная задачка с простыми треугольниками
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 22:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 сен 2018, 22:18
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если вкратце, задача описывается данным изображением:
Изображение

Нам известно все кроме угла [math]\alpha[/math], и длинны Lmin (то есть нам известны расстояния H и h, а также угол [math]\beta[/math] )
Само собой нам необходимо найти уже описанный угол [math]\alpha[/math] и длину Lmin.

Я пытался решить данную задачу через 2 прямоугольных треугольника, от куда получил систему уравнений вида:
Lmin / h = tg( [math]\alpha[/math] + [math]\beta[/math] / 2)
Lmin / (H + h) = tg( [math]\alpha[/math] - [math]\beta[/math] / 2)
Но я напрочь уже забыл все со школы что бы решить эту систему. Если кто-нибудь сможет мне помочь и объяснить решение, я буду крайне благодарен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задачка с простыми треугольниками
СообщениеДобавлено: 04 сен 2018, 23:52 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 731
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
157 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Luedos
В чем трудность?
Поделить одно на другое, и имеем квадратное уравнение относительно [math]\operatorname{tg}{ \alpha }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задачка с простыми треугольниками
СообщениеДобавлено: 05 сен 2018, 17:36 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1086
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
312 раз в 298 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Luedos писал(а):
Но я напрочь уже забыл все со школы что бы решить эту систему. Если кто-нибудь сможет мне помочь и объяснить решение,

1) Формулы для сумма и разности тангенсов двух углов такие :

[math]\operatorname{tg}{( \alpha +\frac{ \beta }{ 2 } )} =[/math][math]\frac{ \operatorname{tg}{\alpha} + \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}{ 1 - \operatorname{tg}{\alpha} \cdot \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}[/math] и [math]\operatorname{tg}{( \alpha - \frac{ \beta }{ 2 } )} =[/math][math]\frac{ \operatorname{tg}{\alpha} - \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}{ 1 + \operatorname{tg}{\alpha} \cdot \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}[/math]

2) Для Ваший случай с одной стороной

[math]L_{min} = h \cdot \operatorname{tg}{( \alpha +\frac{ \beta }{ 2 } )} = h \cdot[/math][math]\frac{ \operatorname{tg}{\alpha} + \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}{ 1 - \operatorname{tg}{\alpha} \cdot \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}[/math], а с другой [math]L_{min} = (H + h) \cdot \operatorname{tg}{( \alpha - \frac{ \beta }{ 2 } )} =(H + h) \cdot \frac{ \operatorname{tg}{\alpha} - \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}{ 1 + \operatorname{tg}{\alpha} \cdot \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}[/math]

Так что из уравнение [math]h \cdot[/math][math]\frac{ \operatorname{tg}{\alpha} + \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}{ 1 - \operatorname{tg}{\alpha} \cdot \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }} =(H + h) \cdot \frac{ \operatorname{tg}{\alpha} - \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}{ 1 + \operatorname{tg}{\alpha} \cdot \operatorname{tg}{\frac{ \beta }{ 2 } }}[/math] Вы найдете [math]\operatorname{tg}{\alpha} \Rightarrow \alpha = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}{\alpha})[/math]

А потом из одно из двух равенства для [math]L_{min}[/math] определите и его самого!

P.S. Так как ( уже отметил [math]FEBUS[/math] ), уравнение квадратное, в общем у Вас будут двух стойностях для [math]\alpha[/math](пусть это Вам не смущает) - из контексте задачи Вы определите и двух они ли будут решения Вашей задачи или только одна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задачка с простыми треугольниками
СообщениеДобавлено: 05 сен 2018, 23:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 сен 2018, 22:18
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем спасибо за ответы. Проснувшись сегодня с утра на чистую голову, я таки решил эту задачку и получил такой ответ для [math]\alpha[/math] :

[math]\alpha[/math] = arctg([math]\frac{ (1 + tg( \beta \slash 2)^{2} ) * H + \sqrt{(1 + tg( \beta \slash 2)^{2})^{2} * H ^{2} - 4 * (2h + H) ^ {2} * tg(\beta \slash 2) ^ {2}} }{ 2 * (2h + H) * tg(\beta \slash 2) })[/math]

(версия с минусом не учитывалась)

Однако, вбив эту формулу в маткад (исключительно для упрощения счета), выяснилось что при углах [math]\beta[/math] > (приблизительно) 58.7 градусов, дискриминант становится отрицательным и [math]\alpha[/math] (а следовательно в дальнейшем и Lmin), уходит в комплексную плоскость. И пока я не могу найти этому геометрического объяснения.

У кого-нибудь есть идеи на этот счет?

P.S. Со всем уважением, ответы по типу "Ну формула правильная значит так и надо, нечего копаться" не принимаются..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задачка с простыми треугольниками
СообщениеДобавлено: 05 сен 2018, 23:49 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 731
Cпасибо сказано: 131
Спасибо получено:
157 раз в 124 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Luedos писал(а):
P.S. Со всем уважением, ответы по типу "Ну формула правильная значит так и надо, нечего копаться" не принимаются..

Вы, батенька, указания давайте публике из вашего окружения, более восприимчивой к хамскому обращению. Иначе может сложиться неверное, возможно, впечатление, что вы не только невежда, но ещё и дурно воспитаны.
Вам ответили, кажите спасибо, а не хамите.

Ну, насчет 58,7º это полный бред, конечно. Угол зависит от конкретных значений [math]H, h, \beta[/math].
Понятно, что решений может быть [math]0, 1[/math] или [math]2[/math].
Прямая [math]L[/math] пересекает окружность не более чем в 2-х точках.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачка не сложная

в форуме Теория вероятностей

mots_ul

2

490

18 ноя 2011, 23:28

Задача с треугольниками

в форуме Геометрия

Hsad

8

144

17 ноя 2017, 16:31

Решение задач с трапециями и треугольниками

в форуме Геометрия

Someone0310

7

826

01 окт 2014, 18:33

Задачи с окружностями, трапециями, треугольниками

в форуме Геометрия

Someone0310

4

638

16 окт 2014, 13:57

Помогите с простыми задачами.

в форуме Теория вероятностей

Katakomb

2

410

14 май 2011, 22:51

Объясните простыми словами

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

dimakarpov

1

133

27 май 2017, 12:44

Интервалы между простыми числами

в форуме Теория чисел

Abbas

8

885

13 мар 2014, 00:08

Минимизация функционала с простыми ограничениями

в форуме Численные методы

Arbuz

7

829

30 июн 2016, 18:16

Последовательность с попарно взаимно простыми членами

в форуме Теория чисел

Gagarin

12

505

06 май 2017, 07:43

Незнайка, Зайка и разбиение с простыми суммами

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

1

108

25 июл 2017, 23:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved