Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти максимум функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=29&t=59947
Страница 1 из 2

Автор:  Tantan [ 17 май 2018, 10:42 ]
Заголовок сообщения:  Найти максимум функции

Найти [math]maximum[/math] функции :
[math]f( \alpha , \beta , \gamma ) = \sin^3{ \alpha } + \sin^3{ \beta } + \sin^3{\gamma}[/math] , при условие [math]\alpha + \beta + \gamma = \pi[/math]

Автор:  Avgust [ 17 май 2018, 11:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

Думаю, что при [math]\left (0, \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )[/math] и других сочетаниях
Сумма 2

Прикидывал численными расчетами.
Вот если бы были не кубы и квадраты, то каждый угол [math]\frac{\pi}{3}[/math] и сумма 2.25

Автор:  Tantan [ 17 май 2018, 12:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

Avgust писал(а):
Вот если бы были не кубы и квадраты, то каждый угол π3
π3
и сумма 2.25


Мне кажеться что и здесь [math]maximum[/math] будеть при [math]\alpha = \beta = \gamma =\frac{ \pi }{ 3 }[/math] и тогда [math]f(\alpha,\beta,\gamma)= \frac{ 9\sqrt{3} }{ 8 }[/math] , это ближе к уме, но ... все это надо доказать ! :)
У мне есть какие то идеи о доказательстве, но все слишком громоздко и не уверен, что все правилно ( есть тонькие моменты) и поэтому решил предложит на форум - можно добраться до нещо более короткое и хитрое!

Автор:  Avgust [ 17 май 2018, 12:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

Tantan, да, аналитически непросто. Мне тоже очень хотелось бы увидеть строгие выкладки.

Автор:  bimol [ 17 май 2018, 12:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

Tantan
Что больше [math]f(\alpha,\beta,\gamma)= \frac{ 9\sqrt{3} }{ 8 }[/math] или [math]2[/math]?

Автор:  michel [ 17 май 2018, 12:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

Tantan писал(а):
Мне кажеться что и здесь [math]maximum[/math] будеть при [math]\alpha = \beta = \gamma =\frac{ \pi }{ 3 }[/math] и тогда [math]f(\alpha,\beta,\gamma)= \frac{ 9\sqrt{3} }{ 8 }[/math] , это ближе к уме, но ... все это надо доказать ! :)
У мне есть какие то идеи о доказательстве, но все слишком громоздко и не уверен, что все правилно ( есть тонькие моменты) и поэтому решил предложит на форум - можно добраться до нещо более короткое и хитрое!

Увы [math]f(\alpha,\beta,\gamma)= \frac{ 9\sqrt{3} }{ 8 } \approx 1,949[/math]. С другой стороны, нетрудно убедиться, если [math]\alpha = \beta =\frac{ \pi }{ 2 } , \gamma =0[/math], то [math]f(\alpha,\beta,\gamma)=2[/math]

Автор:  Tantan [ 17 май 2018, 15:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

Спосибо, но ... я забыл добавить в условия ещо, что надо [math]\alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0[/math] , т.е. это углы НЕВЫРОЖДЕНОГО треугольника! Большия извинения к всем кто потратил до сих пор время над этой задачу! Очень сожелею! Я как то предпологал, что все об этом догадаться, но ... допустил ошибку! Извините за некоректност еще раз!

Автор:  FEBUS [ 17 май 2018, 19:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

Можно искать максимум традиционно, а можно так
[math]F(x,y) = \sin^{3}{x} +\sin^{3} {y}+\sin^{3} {(x+y)} \leqslant 2\sin^{3} {\frac{ x+y }{2 } }+ \sin^{3} {(x+y)} \leqslant 2= F(\frac{ \pi }{2 },\frac{ \pi }{2 }).[/math]

Автор:  Tantan [ 17 май 2018, 20:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

FEBUS писал(а):
Можно искать максимум традиционно, а можно так
[math]F(x,y) = \sin^{3}{x} +\sin^{3} {y}+\sin^{3} {(x+y)} \leqslant 2\sin^{3} {\frac{ x+y }{2 } }+ \sin^{3} {(x+y)} \leqslant 2= F(\frac{ \pi }{2 },\frac{ \pi }{2 }).[/math]

Если правилно Вас понял :
это означает, что [math]\alpha = \beta = \frac{ \pi }{ 2 } \Rightarrow \gamma =0[/math]
[math](\sin{ \gamma } = \sin{( \pi - \alpha - \beta )}=\sin{( \alpha + \beta )} )[/math], а тогда не выполнено условие [math]\alpha > 0 , \beta > 0, \gamma > 0[/math], (которые я первоначално пропустил).

Автор:  Avgust [ 17 май 2018, 21:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти максимум функции

Ну, вот смотрите, если все углы больше нуля, то сумма бесконечно приближается к 2. Например:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(x)%5E3%2Bsin(y)%5E3%2Bsin(z)%5E3++where+x%3Dpi%2F2-0.01+and+y%3Dpi%2F2-0.01and+z%3D0.02
Это же намного больше 1.949

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/