Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 14:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 июл 2017, 14:27
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста решить уравнение.
[math]\cos^4{x}[/math] + [math]\cos^4{(x- \boldsymbol{\pi} \div 4) }[/math] = 1 [math]\div[/math] 4
Найти корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( − 4 [math]\pi[/math] ;− 5 [math]\pi[/math] /2 ].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 17:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 19:32
Сообщений: 2340
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 503
Спасибо получено:
662 раз в 570 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
decadans
Для начала воспользуйтесь формулой понижения степени косинуса через удвоение аргумента.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 18:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 июл 2017, 14:27
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Analitik писал(а):
Для начала воспользуйтесь формулой понижения степени косинуса через удвоение аргумента.

[math]\frac{ 3 + 4cos{2x}+cos 4x }{ 8 }[/math] + [math]\frac{ 3 + 4cos{2x}+cos 4x }{ 8 }[/math] - [math]\frac{ 3+4cos 2 \frac{ \pi }{ 4 } + cos 4 \frac{ \pi }{ 4 } }{ 8 }[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 4 }[/math]
[math]\frac{ 3 + 4 cos 2x + cos 4x }{ 8 }[/math] + [math]\frac{ 3+4cos 2x + cos 4x }{ 8 }[/math] - [math]\frac{ 3+4cos \frac{ \pi }{ 2 }+cos \pi }{ 8 }[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 4 }[/math]

3 + 4 cos 2x + cos 4x + 3 + 4cos2x + cos 4x - 3 + 2 cos [math]\pi[/math] + cos [math]\pi[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 4 }[/math]
3+ 4 cos 2x + cos 4x + 4 cos 2x + cos 4x + 3 cos [math]\pi[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 4 }[/math]
3+8cos 2x + 2 cos 4x + 3 cos [math]\pi[/math] = [math]\frac{ 1 }{ 4 }[/math]

Не так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 20:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 19:32
Сообщений: 2340
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 503
Спасибо получено:
662 раз в 570 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]{\cos ^4}x = {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} = {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {1 + \cos 2x} \right)}^2}}}{4}[/math]
[math]{\cos ^4}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = {\left( {{{\cos }^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right)^2} = {\left( {\frac{{1 + \cos 2\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {1 + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^2}}}{4}[/math]
Получаем уравнение в виде
[math]\frac{{{{\left( {1 + \cos 2x} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {1 + \sin 2x} \right)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}[/math]
Умножим на 4
[math]{\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} + {\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} = 1[/math]
Раскрываете скобки и .....

PS: У многих с тригонометрией проблемы. Решение этих проблем - решать примеры. Нет опыта - нет умения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Analitik "Спасибо" сказали:
decadans
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 15 июл 2017, 16:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 июл 2017, 14:27
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Analitik писал(а):
Раскрываете скобки и

Я тут попыталась решить уравнение до конца и не знаю, что делать дальше. Можете помочь, пожалуйста?
Вот я раскрыла скобки
1+ 2cos2x+[math]cos^{2}[/math]2x + 1 + 2sin2x + [math]sin^{2}[/math]2x = 1
3 + 2 cos 2x + 2 sin2x = 1
2 + 2 cos 2x + 2 sin 2 x = 0

А как дальше решить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 15 июл 2017, 17:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
27 дек 2011, 19:32
Сообщений: 2340
Откуда: Украина, Одесса
Cпасибо сказано: 503
Спасибо получено:
662 раз в 570 сообщениях
Очков репутации: 182

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
разделить на два; оставить с одной стороны тригонометрию, а все остальное перенести через знак равенства; применить метод дополнительного угла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 15 июл 2017, 18:28 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
decadans, можно для простоты поделить последнее уравнения на [math]2+2\cos 2x[/math]. Получим

[math]1+\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 1+\text{tg}\,x=0[/math]

Соответственно, тангенс должен быть равен минус единице - это угол минус 45 градусов ([math]-\pi\slash 4[/math], корни повторяются через [math]\pi[/math].

Но нужно не забыть, что при делении мы могли потерять корни, для которых появившийся знаменатель равен нулю.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что мы их чуть не потеряли,
[math]1+\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)\equiv 0[/math]

Значит, ещё одна группа корней - это [math]\frac{\pi}{2}[/math], также c периодом [math]\pi[/math] (значения в два раза меньше из-за удвоенного аргумента у косинуса)

Итого, 2 серии корней:

[math]x=-\frac{\pi}{4}\pm k\pi, k=0,1,2,\ldots[/math]

[math]x=\frac{\pi}{2} \pm k\pi, k=0,1,2,\ldots[/math]

Ну, в заданный по условиям интервал попадёт [math]-\frac{13\pi}{4}[/math] от первой серии (k=3) и [math]-\frac{7\pi}{2}[/math] из второй серии (k=3)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 15 июл 2017, 19:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 июл 2017, 14:27
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Analitik писал(а):
применить метод дополнительного угла

cos2x+sin2x = -1
Так же?
А как применить метод дополнительного угла? Я почитала в интернете,но не особо поняла

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 15 июл 2017, 19:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 июл 2017, 14:27
Сообщений: 23
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Xmas, я что-то не особо поняла. Какое уравнение поделить на 2+2cos2x?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение.
СообщениеДобавлено: 15 июл 2017, 20:51 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 710
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
decadans писал(а):
Какое уравнение поделить на 2+2cos2x?

2+2cos2x+2sin2x=0, разумеется.
Посмотрите формулы тангенса половинного угла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

maked0n

2

396

03 дек 2013, 00:03

Уравнение тригонометрическое

в форуме Тригонометрия

roza96

2

180

10 май 2014, 19:15

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

sfanter

11

633

19 июн 2014, 19:33

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

sfanter

11

780

19 июн 2014, 16:20

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

sfanter

2

323

19 июн 2014, 15:38

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

sfanter

5

402

19 июн 2014, 14:16

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

kosov

12

326

08 янв 2016, 14:32

Уравнение тригонометрическое

в форуме Тригонометрия

roza96

2

274

10 май 2014, 19:49

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

sfanter

9

476

20 июн 2014, 16:45

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

sfanter

7

443

21 июн 2014, 16:46


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yahoo [Bot] и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved