Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение и неравенство смешанного типа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=29&t=54750
Страница 1 из 1

Автор:  user16 [ 30 май 2017, 15:10 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение и неравенство смешанного типа

Подскажите, пожалуйста, как решить приведённые ниже задачи.

1. Нужно найти сумму корней неравенства [math]2cos^{2}\left( \frac{3\pi x}{2} \right) + sin^{2}\left( \frac{3\pi x}{2} \right) + tg^{2}\left( \frac{3\pi x}{2} \right) \leqslant 2^{\left| cos(3\pi x) \right| }[/math] на интервале [math]\left[ -1;5 \right][/math]
Можно упростить левую часть. Получается:

[math]cos^{2}\left( \frac{3\pi x}{2} \right) + \frac{1}{cos^{2}\left( \frac{3\pi x}{2} \right) } \leqslant 2^{\left| cos(3\pi x) \right| }[/math]

В целом напоминает известное неравенство [math]t+\frac{1}{t}<=2[/math], но это не то.
[math]cos^{2}\left( \frac{3\pi x}{2} \right) \in \left( 0;1 \right][/math], [math]cos(3\pi x) \in \left[ 0;1 \right][/math]. Значит, левая часть может изменяться от 2 до +бесконечности, правая - от 1 до 2. А дальше?

2. Нужно найти сумму корней уравнения [math]sin(\frac{\pi x}{2})=log_{2}{\left( \left| cos(\pi x) \right| + \frac{1}{\left| cos(\pi x) \right| } \right) }[/math] на интервале [math]\left[ -20;20 \right][/math]

Тут идей никаких :no:

Автор:  michel [ 30 май 2017, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение и неравенство смешанного типа

user16 писал(а):
В целом напоминает известное неравенство [math]t+\frac{1}{t}<=2[/math], но это не то.
Конечно, это не так, потому что: [math]t+\frac{1}{t} \leqslant -2[/math] для отрицательных t и [math]t+\frac{1}{t} \geqslant 2[/math] для положительных t

Автор:  pewpimkin [ 30 май 2017, 17:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение и неравенство смешанного типа

Почему во втором нет. Выражение в скобках больше равно 2. Значит минимальное значение правой части =1, Максимальное значение левой части тоже 1. Значит нужно решить систему sin(pix/2)=1 |cospix|=1

Автор:  pewpimkin [ 30 май 2017, 22:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение и неравенство смешанного типа

А в первом левая часть больше- равно 2, правая часть меньше- равна 2. Значит неравенство будет выполняться, когда эти части будут равны 2. Нужно решить систему |cos(3pix/2)|=1, |cos3pix|=1

Автор:  user16 [ 31 май 2017, 13:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение и неравенство смешанного типа

pewpimkin, спасибо!

Автор:  pewpimkin [ 31 май 2017, 16:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение и неравенство смешанного типа

Пожалуйста

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/