Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Abakumova |
|
|
2 + [math]\cos{x}[/math] = [math]\sqrt{3}[/math] [math]\left| \sin{\frac{ 3x }{ 4 } } \right|[/math][math]\sin{x}[/math] Источник: Ю.В. Садовничий, "Решение задач и уравнений в целых числах". Благодарю за помощь. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Я бы начал с перебора случаев, когда левая и правые части принимают целые или рациональные значения. В данном уравнении это имеет место для [math]x=\frac{ 2 \pi }{ 3 }+4 \pi k[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Разделим обе части уравнения на [math]sinx[/math] и перейдем к половинному аргументу, тогда левая часть уравнения примет вид: [math]\frac{ 2+cosx }{ sinx }=\frac{ 3+t^2 }{ 2t }[/math], где [math]t=\frac{ sin\frac{ x }{ 2 } }{ cos\frac{ x }{ 2 } }[/math]. Так как правая часть [math]\sqrt{3}\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|[/math] - неотрицательная, то к левой части можно применить неравенство Коши: [math]\frac{ 3+t^2 }{ 2t } ={ \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{ 3 }{ t }+t \right) } \geqslant 2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{3}=\sqrt{3}[/math]. Таким образом, правая часть должна быть равна [math]\sqrt{3}[/math], откуда следует, что [math]\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|=1[/math]. Отсюда приходим к вышеозначенному ответу
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Abakumova |
||
venjar |
|
|
Может попроще будет так.
Переписать в виде [math]\sqrt{3}[/math] [math]\left| \sin{\frac{ 3x }{ 4 } } \right|\sin{x}-\cos{x}=2[/math]. Дальше преобразовать левую часть этого выражения так же, как преобразуется выражение вида [math]a\sin{x}+b\cos{x}[/math] методом введения вспомогательного угла. Приходим к тому же, что решение уравнения НЕОБХОДИМО удовлетворяет условию [math]\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|=1[/math], которое удобнее записать в виде [math]\cos{\frac{ 3x }{ 2 } }=-1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали: Abakumova |
||
Abakumova |
|
|
michel, интересное решение, спасибо!
|
||
Вернуться к началу | ||
Abakumova |
|
|
venjar, всё получилось, благодарю за ответ!
|
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Олимпиада "Воробьевы горы" (давнишняя). Могу напечатать авторское решение. Оно примерно, как у michel
|
||
Вернуться к началу | ||
Abakumova |
|
|
pewpimkin, да, если Вас не затруднит. Было бы интересно посмотреть.
|
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Abakumova |
||
venjar |
|
|
pewpimkin писал(а): Оно примерно, как у michel Оно примерно как у меня |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
2 |
289 |
19 апр 2020, 17:45 |
|
Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
2 |
588 |
07 май 2015, 21:05 |
|
Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
2 |
400 |
13 ноя 2018, 08:23 |
|
Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
7 |
569 |
29 ноя 2018, 19:30 |
|
Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
3 |
552 |
12 мар 2016, 21:09 |
|
Уравнение тригонометрическое
в форуме Алгебра |
3 |
1297 |
03 апр 2014, 18:49 |
|
Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
5 |
755 |
19 июн 2014, 13:16 |
|
С 1 Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
1 |
353 |
21 июл 2016, 12:51 |
|
Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
1 |
336 |
13 фев 2016, 23:03 |
|
Тригонометрическое уравнение
в форуме Тригонометрия |
3 |
745 |
12 фев 2018, 14:59 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |