Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 май 2017, 20:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2017, 20:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите, пожалуйста, с чего начать?
2 + [math]\cos{x}[/math] = [math]\sqrt{3}[/math] [math]\left| \sin{\frac{ 3x }{ 4 } } \right|[/math][math]\sin{x}[/math]

Источник: Ю.В. Садовничий, "Решение задач и уравнений в целых числах".
Благодарю за помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 май 2017, 21:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2487
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
835 раз в 773 сообщениях
Очков репутации: 125

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я бы начал с перебора случаев, когда левая и правые части принимают целые или рациональные значения. В данном уравнении это имеет место для [math]x=\frac{ 2 \pi }{ 3 }+4 \pi k[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 00:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2487
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
835 раз в 773 сообщениях
Очков репутации: 125

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разделим обе части уравнения на [math]sinx[/math] и перейдем к половинному аргументу, тогда левая часть уравнения примет вид: [math]\frac{ 2+cosx }{ sinx }=\frac{ 3+t^2 }{ 2t }[/math], где [math]t=\frac{ sin\frac{ x }{ 2 } }{ cos\frac{ x }{ 2 } }[/math]. Так как правая часть [math]\sqrt{3}\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|[/math] - неотрицательная, то к левой части можно применить неравенство Коши: [math]\frac{ 3+t^2 }{ 2t } ={ \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{ 3 }{ t }+t \right) } \geqslant 2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{3}=\sqrt{3}[/math]. Таким образом, правая часть должна быть равна [math]\sqrt{3}[/math], откуда следует, что [math]\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|=1[/math]. Отсюда приходим к вышеозначенному ответу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Abakumova
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 01:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 20:19
Сообщений: 2452
Cпасибо сказано: 391
Спасибо получено:
694 раз в 586 сообщениях
Очков репутации: 119

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может попроще будет так.

Переписать в виде

[math]\sqrt{3}[/math] [math]\left| \sin{\frac{ 3x }{ 4 } } \right|\sin{x}-\cos{x}=2[/math].

Дальше преобразовать левую часть этого выражения так же, как преобразуется выражение вида [math]a\sin{x}+b\cos{x}[/math] методом введения вспомогательного угла. Приходим к тому же, что решение уравнения НЕОБХОДИМО удовлетворяет условию [math]\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|=1[/math], которое удобнее записать в виде [math]\cos{\frac{ 3x }{ 2 } }=-1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
Abakumova
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 10:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2017, 20:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, интересное решение, спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 10:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2017, 20:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, всё получилось, благодарю за ответ!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 14:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 12:03
Сообщений: 6502
Cпасибо сказано: 410
Спасибо получено:
3247 раз в 2564 сообщениях
Очков репутации: 677

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Олимпиада "Воробьевы горы" (давнишняя). Могу напечатать авторское решение. Оно примерно, как у michel

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 19:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2017, 20:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin, да, если Вас не затруднит. Было бы интересно посмотреть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 19:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 12:03
Сообщений: 6502
Cпасибо сказано: 410
Спасибо получено:
3247 раз в 2564 сообщениях
Очков репутации: 677

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Abakumova
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 21:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 20:19
Сообщений: 2452
Cпасибо сказано: 391
Спасибо получено:
694 раз в 586 сообщениях
Очков репутации: 119

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
Оно примерно, как у michel

Оно примерно как у меня :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

kosov

2

181

09 янв 2016, 16:44

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

GoAheadEagles

1

350

16 окт 2015, 21:21

Уравнение тригонометрическое

в форуме Тригонометрия

ilonka

2

242

11 май 2014, 11:31

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Zomboy___

5

215

20 апр 2017, 21:42

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

alex1

13

267

15 апр 2017, 15:51

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

sfanter

9

536

20 июн 2014, 16:45

Уравнение тригонометрическое

в форуме Тригонометрия

kicultanya

1

126

03 мар 2017, 15:42

Тригонометрическое уравнение 13

в форуме Тригонометрия

kicultanya

7

191

02 мар 2017, 16:40

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Fsq

9

631

04 май 2013, 22:05

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

HULK_7

4

517

04 июн 2014, 21:36


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved