Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 май 2017, 20:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2017, 20:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите, пожалуйста, с чего начать?
2 + [math]\cos{x}[/math] = [math]\sqrt{3}[/math] [math]\left| \sin{\frac{ 3x }{ 4 } } \right|[/math][math]\sin{x}[/math]

Источник: Ю.В. Садовничий, "Решение задач и уравнений в целых числах".
Благодарю за помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 май 2017, 21:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2005
Cпасибо сказано: 49
Спасибо получено:
678 раз в 630 сообщениях
Очков репутации: 92

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я бы начал с перебора случаев, когда левая и правые части принимают целые или рациональные значения. В данном уравнении это имеет место для [math]x=\frac{ 2 \pi }{ 3 }+4 \pi k[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 00:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2005
Cпасибо сказано: 49
Спасибо получено:
678 раз в 630 сообщениях
Очков репутации: 92

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разделим обе части уравнения на [math]sinx[/math] и перейдем к половинному аргументу, тогда левая часть уравнения примет вид: [math]\frac{ 2+cosx }{ sinx }=\frac{ 3+t^2 }{ 2t }[/math], где [math]t=\frac{ sin\frac{ x }{ 2 } }{ cos\frac{ x }{ 2 } }[/math]. Так как правая часть [math]\sqrt{3}\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|[/math] - неотрицательная, то к левой части можно применить неравенство Коши: [math]\frac{ 3+t^2 }{ 2t } ={ \frac{ 1 }{ 2 } \left( \frac{ 3 }{ t }+t \right) } \geqslant 2 \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{3}=\sqrt{3}[/math]. Таким образом, правая часть должна быть равна [math]\sqrt{3}[/math], откуда следует, что [math]\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|=1[/math]. Отсюда приходим к вышеозначенному ответу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Abakumova
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 01:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 20:19
Сообщений: 2352
Cпасибо сказано: 362
Спасибо получено:
660 раз в 560 сообщениях
Очков репутации: 124

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может попроще будет так.

Переписать в виде

[math]\sqrt{3}[/math] [math]\left| \sin{\frac{ 3x }{ 4 } } \right|\sin{x}-\cos{x}=2[/math].

Дальше преобразовать левую часть этого выражения так же, как преобразуется выражение вида [math]a\sin{x}+b\cos{x}[/math] методом введения вспомогательного угла. Приходим к тому же, что решение уравнения НЕОБХОДИМО удовлетворяет условию [math]\left|sin \frac{ 3x }{ 4 } \right|=1[/math], которое удобнее записать в виде [math]\cos{\frac{ 3x }{ 2 } }=-1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
Abakumova
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 10:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2017, 20:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, интересное решение, спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 10:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2017, 20:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, всё получилось, благодарю за ответ!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 14:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 12:03
Сообщений: 6332
Cпасибо сказано: 403
Спасибо получено:
3168 раз в 2496 сообщениях
Очков репутации: 668

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Олимпиада "Воробьевы горы" (давнишняя). Могу напечатать авторское решение. Оно примерно, как у michel

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 19:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2017, 20:30
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin, да, если Вас не затруднит. Было бы интересно посмотреть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 19:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 12:03
Сообщений: 6332
Cпасибо сказано: 403
Спасибо получено:
3168 раз в 2496 сообщениях
Очков репутации: 668

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Abakumova
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрическое уравнение
СообщениеДобавлено: 28 май 2017, 21:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 20:19
Сообщений: 2352
Cпасибо сказано: 362
Спасибо получено:
660 раз в 560 сообщениях
Очков репутации: 124

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
Оно примерно, как у michel

Оно примерно как у меня :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Ryslannn

3

206

12 фев 2018, 15:59

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Rarf247

2

174

01 фев 2016, 15:23

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

fingolfin

1

133

23 янв 2016, 02:23

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

miel-pops

1

210

12 ноя 2012, 21:46

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Fsq

9

604

04 май 2013, 22:05

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

kosov

2

158

09 янв 2016, 16:44

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

kosov

12

377

08 янв 2016, 14:32

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

masania

3

287

22 сен 2013, 18:57

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

Lina11

11

537

22 сен 2013, 17:07

Тригонометрическое уравнение

в форуме Тригонометрия

fgback

2

95

20 фев 2017, 21:12


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved