Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
user16 |
|
|
В ходе преобразований получается уравнение: [math]cos^{2011}(2x)+cos^{2010}(2x)-2=0[/math] Как доказать, что [math]cos(2x)[/math] равен только [math]1[/math]? Я рассуждал так: Пусть [math]cos2x=t, \left| t \right| \leqslant 1[/math], тогда исходное уравнение принимает вид: [math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] (*) Т.к. [math]a_{n}=1[/math] , то рациональными корнями уравнения могут быть только делители свободного члена, т.е. некоторые числа из множества [math]\left\{ -2; -1; 1; 2 \right\}[/math]. Поскольку [math]\left| t \right| \leqslant 1[/math] по условию замены, то остаются только числа [math]\pm 1[/math], из которых подходит [math]t=1[/math] (...[math]\Rightarrow x=\pi n, n \in Z \Rightarrow[/math] наименьший положительный корень исходного уравнения равен [math]\pi[/math]). Достаточно ли этого рассуждения, чтобы сказать, что никаких других корней, кроме [math]t=1[/math], уравнение (*) не имеет? |
||
Вернуться к началу | ||
Shadows |
|
|
user16, причем тут рациональност корней?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали: user16 |
||
user16 |
|
|
Shadows, т.к. все коэффициенты в уравнении [math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] целые и одна из переменных находится в нечётной степени, то корни могут быть только рациональными Кажется, ваш вопрос меня натолкнул на ответ на мой вопрос. Действительно, иррациональных корней нет, а рациональный корень всего один. Что-то затупил
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
user16
Мне кажется, что вы усложняете. Для решения задачи достаточно исходить из того, что синус или косинус ограничен по модулю единицей. |
||
Вернуться к началу | ||
user16 |
|
|
searcher, это я учёл (условие [math]t=cos(2x), \left| t \right| \leqslant 1[/math] в самом первом сообщении). Мне казалось, что, возможно, помимо рационального корня [math]t=1[/math] могут быть ещё иррациональные корни
|
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
user16
Возьмите число [math]0,999[/math] и возведите его на калькуляторе , ну например, в 100-ю степень. Проанализируйте результат и подумайте как его применить к решению Вашего уравнения. |
||
Вернуться к началу | ||
user16 |
|
|
Anatole, не совсем понял, как это мне поможет Возвёл [math]0.999[/math] в сотую степень в вольфраме, но о чём должен говорить результат? Понятно, что если возводить числа из диапазона [math](-1;0) \cup (0;1)[/math] в натуральную степень, то с её (степени) ростом результат будет стремиться к нулю, т.к. модуль разности между числителем и знаменателем, который больше числителя, увеличивается (эм, это, наверное, не совсем тот вывод, который вы имели в виду), но как мне это поможет доказать, что в уравнении [math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] нет корней, кроме [math]t=1[/math]? Извините, если неправильно понял ваш намёк, просто голова уже хочет спать
|
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
Лучше вернуться к косинусам, получить произведение степени косинуса на синус, равное 1. Оно может быть таким, только если оба сомножителя равны 1.
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
user16
Если есть уравнение [math]t^{2011}+t^{2010}=2[/math] (причём известно, что [math]|t|<1[/math]),то очевидно, что [math]|t|=1[/math]. Иначе модуль левой части будет строго меньше 2: [math]|t^{2011}+t^{2010}|<=|t^{2011}|+|t^{2010}|<=|t|^{2011}+|t|^{2010}<1+1=2[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: user16 |
||
user16 |
|
|
searcher, спасибо!
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать что ур-у имеет n корней
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
1 |
294 |
11 май 2016, 10:55 |
|
Доказать целых положительных корней нет
в форуме Алгебра |
22 |
727 |
24 май 2019, 12:54 |
|
Доказать что ур-е имеет n корней в круге | 2 |
279 |
11 май 2016, 11:12 |
|
Доказать, что квадратный трёхчлен не имеет корней
в форуме Алгебра |
16 |
992 |
02 окт 2018, 09:57 |
|
Доказать, что факторгруппа изоморфна группе всех корней
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
301 |
04 июн 2017, 19:20 |
|
Сумма арифметических корней , корней квадратного уравнения
в форуме Алгебра |
24 |
355 |
25 июн 2022, 10:30 |
|
Выразить вектор через два других | 8 |
2885 |
27 ноя 2016, 18:32 |
|
Ни квадратов, ни других точных степеней | 3 |
81 |
09 мар 2024, 00:57 |
|
Как выразить один логарифм через два других?
в форуме Алгебра |
4 |
1377 |
16 окт 2015, 12:32 |
|
Окружность, которая касается 3 других окружностей
в форуме Геометрия |
35 |
939 |
28 мар 2020, 23:10 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |