Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 19:14 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 15:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из множества решений уравнения [math]sin^{2010}(\frac{\pi}{2}+2x)+sin^{2011}(\frac{\pi}{2}-2x)=2[/math] нужно найти наименьший положительный корень.

В ходе преобразований получается уравнение:

[math]cos^{2011}(2x)+cos^{2010}(2x)-2=0[/math]

Как доказать, что [math]cos(2x)[/math] равен только [math]1[/math]?

Я рассуждал так:

Пусть [math]cos2x=t, \left| t \right| \leqslant 1[/math], тогда исходное уравнение принимает вид:

[math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] (*)

Т.к. [math]a_{n}=1[/math] , то рациональными корнями уравнения могут быть только делители свободного члена, т.е. некоторые числа из множества [math]\left\{ -2; -1; 1; 2 \right\}[/math]. Поскольку [math]\left| t \right| \leqslant 1[/math] по условию замены, то остаются только числа [math]\pm 1[/math], из которых подходит [math]t=1[/math] (...[math]\Rightarrow x=\pi n, n \in Z \Rightarrow[/math] наименьший положительный корень исходного уравнения равен [math]\pi[/math]). Достаточно ли этого рассуждения, чтобы сказать, что никаких других корней, кроме [math]t=1[/math], уравнение (*) не имеет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 21:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1377
Cпасибо сказано: 108
Спасибо получено:
561 раз в 447 сообщениях
Очков репутации: 155

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
user16, причем тут рациональност корней?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
user16
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 21:24 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 15:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows, т.к. все коэффициенты в уравнении [math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] целые и одна из переменных находится в нечётной степени, то корни могут быть только рациональными :unknown: Кажется, ваш вопрос меня натолкнул на ответ на мой вопрос. Действительно, иррациональных корней нет, а рациональный корень всего один. Что-то затупил :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 21:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
user16
Мне кажется, что вы усложняете. Для решения задачи достаточно исходить из того, что синус или косинус ограничен по модулю единицей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 21:51 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 15:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, это я учёл (условие [math]t=cos(2x), \left| t \right| \leqslant 1[/math] в самом первом сообщении). Мне казалось, что, возможно, помимо рационального корня [math]t=1[/math] могут быть ещё иррациональные корни

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 23:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
user16
Возьмите число [math]0,999[/math] и возведите его на калькуляторе , ну например, в 100-ю степень.
Проанализируйте результат и подумайте как его применить к решению Вашего уравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 01:16 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 15:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole, не совсем понял, как это мне поможет :( Возвёл [math]0.999[/math] в сотую степень в вольфраме, но о чём должен говорить результат? Понятно, что если возводить числа из диапазона [math](-1;0) \cup (0;1)[/math] в натуральную степень, то с её (степени) ростом результат будет стремиться к нулю, т.к. модуль разности между числителем и знаменателем, который больше числителя, увеличивается (эм, это, наверное, не совсем тот вывод, который вы имели в виду), но как мне это поможет доказать, что в уравнении [math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] нет корней, кроме [math]t=1[/math]? Извините, если неправильно понял ваш намёк, просто голова уже хочет спать :pardon:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 03:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Лучше вернуться к косинусам, получить произведение степени косинуса на синус, равное 1. Оно может быть таким, только если оба сомножителя равны 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 13:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
user16
Если есть уравнение [math]t^{2011}+t^{2010}=2[/math] (причём известно, что [math]|t|<1[/math]),то очевидно, что [math]|t|=1[/math]. Иначе модуль левой части будет строго меньше 2:
[math]|t^{2011}+t^{2010}|<=|t^{2011}|+|t^{2010}|<=|t|^{2011}+|t|^{2010}<1+1=2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
user16
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 14:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 15:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать что ур-у имеет n корней

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

int64

1

294

11 май 2016, 10:55

Доказать целых положительных корней нет

в форуме Алгебра

3axap

22

727

24 май 2019, 12:54

Доказать что ур-е имеет n корней в круге

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

int64

2

279

11 май 2016, 11:12

Доказать, что квадратный трёхчлен не имеет корней

в форуме Алгебра

Anjel

16

992

02 окт 2018, 09:57

Доказать, что факторгруппа изоморфна группе всех корней

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Quintin65

1

301

04 июн 2017, 19:20

Сумма арифметических корней , корней квадратного уравнения

в форуме Алгебра

TsaAst

24

355

25 июн 2022, 10:30

Выразить вектор через два других

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Surtr_RJ

8

2885

27 ноя 2016, 18:32

Ни квадратов, ни других точных степеней

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

3

81

09 мар 2024, 00:57

Как выразить один логарифм через два других?

в форуме Алгебра

leonid_list

4

1377

16 окт 2015, 12:32

Окружность, которая касается 3 других окружностей

в форуме Геометрия

Poman092309

35

939

28 мар 2020, 23:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved