Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 20:14 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 16:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из множества решений уравнения [math]sin^{2010}(\frac{\pi}{2}+2x)+sin^{2011}(\frac{\pi}{2}-2x)=2[/math] нужно найти наименьший положительный корень.

В ходе преобразований получается уравнение:

[math]cos^{2011}(2x)+cos^{2010}(2x)-2=0[/math]

Как доказать, что [math]cos(2x)[/math] равен только [math]1[/math]?

Я рассуждал так:

Пусть [math]cos2x=t, \left| t \right| \leqslant 1[/math], тогда исходное уравнение принимает вид:

[math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] (*)

Т.к. [math]a_{n}=1[/math] , то рациональными корнями уравнения могут быть только делители свободного члена, т.е. некоторые числа из множества [math]\left\{ -2; -1; 1; 2 \right\}[/math]. Поскольку [math]\left| t \right| \leqslant 1[/math] по условию замены, то остаются только числа [math]\pm 1[/math], из которых подходит [math]t=1[/math] (...[math]\Rightarrow x=\pi n, n \in Z \Rightarrow[/math] наименьший положительный корень исходного уравнения равен [math]\pi[/math]). Достаточно ли этого рассуждения, чтобы сказать, что никаких других корней, кроме [math]t=1[/math], уравнение (*) не имеет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 22:02 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 20:46
Сообщений: 918
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
360 раз в 282 сообщениях
Очков репутации: 130

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
user16, причем тут рациональност корней?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
user16
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 22:24 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 16:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shadows, т.к. все коэффициенты в уравнении [math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] целые и одна из переменных находится в нечётной степени, то корни могут быть только рациональными :unknown: Кажется, ваш вопрос меня натолкнул на ответ на мой вопрос. Действительно, иррациональных корней нет, а рациональный корень всего один. Что-то затупил :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 22:49 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
user16
Мне кажется, что вы усложняете. Для решения задачи достаточно исходить из того, что синус или косинус ограничен по модулю единицей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 22 апр 2017, 22:51 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 16:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, это я учёл (условие [math]t=cos(2x), \left| t \right| \leqslant 1[/math] в самом первом сообщении). Мне казалось, что, возможно, помимо рационального корня [math]t=1[/math] могут быть ещё иррациональные корни

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 00:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2438
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
761 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
user16
Возьмите число [math]0,999[/math] и возведите его на калькуляторе , ну например, в 100-ю степень.
Проанализируйте результат и подумайте как его применить к решению Вашего уравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 02:16 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 16:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole, не совсем понял, как это мне поможет :( Возвёл [math]0.999[/math] в сотую степень в вольфраме, но о чём должен говорить результат? Понятно, что если возводить числа из диапазона [math](-1;0) \cup (0;1)[/math] в натуральную степень, то с её (степени) ростом результат будет стремиться к нулю, т.к. модуль разности между числителем и знаменателем, который больше числителя, увеличивается (эм, это, наверное, не совсем тот вывод, который вы имели в виду), но как мне это поможет доказать, что в уравнении [math]t^{2011}+t^{2010}-2=0[/math] нет корней, кроме [math]t=1[/math]? Извините, если неправильно понял ваш намёк, просто голова уже хочет спать :pardon:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 04:28 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 711
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
115 раз в 108 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Лучше вернуться к косинусам, получить произведение степени косинуса на синус, равное 1. Оно может быть таким, только если оба сомножителя равны 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 14:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2194
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
user16
Если есть уравнение [math]t^{2011}+t^{2010}=2[/math] (причём известно, что [math]|t|<1[/math]),то очевидно, что [math]|t|=1[/math]. Иначе модуль левой части будет строго меньше 2:
[math]|t^{2011}+t^{2010}|<=|t^{2011}|+|t^{2010}|<=|t|^{2011}+|t|^{2010}<1+1=2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
user16
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать, что других корней нет?
СообщениеДобавлено: 23 апр 2017, 15:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
28 май 2016, 16:18
Сообщений: 50
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать что ур-у имеет n корней

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

int64

1

86

11 май 2016, 11:55

Доказать, что система не имеет корней

в форуме Алгебра

Contego

3

200

18 ноя 2013, 22:25

Доказать что ур-е имеет n корней в круге

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

int64

2

94

11 май 2016, 12:12

Доказать, что многочлен не имеет целых корней

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

_Astarta_

1

397

06 сен 2013, 12:12

Доказать, что факторгруппа изоморфна группе всех корней

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Quintin65

1

73

04 июн 2017, 20:20

Деление в других системах счисления

в форуме Теория чисел

Caxapok

3

263

08 дек 2013, 22:00

Выразить вектор через два других

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Surtr_RJ

8

332

27 ноя 2016, 19:32

Логарифмы. Выразить число через 2 других.

в форуме Алгебра

WildSpirit

2

246

20 янв 2012, 17:35

Найти уравнение других сторон прямоугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

weeman

4

656

13 ноя 2011, 13:11

Выразить вектор через три других вектора

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

mayer

1

260

02 окт 2015, 19:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: egorkamath и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved