Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 12:59 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 13:00
Сообщений: 84
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дана система:
Цитата:
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \cos{x} \cdot \sin{y} = \sin^2{x} \\
& \sin{x} \cdot \cos{y} = \cos^2{x}
\end{aligned}\right.[/math]

Я увидел, что если сложить два уравнения, то получится, что
[math]\cos{x} \cdot \sin{y} + \sin{x} \cdot \cos{y} = \sin^2{x} + \cos^2{x}[/math]
[math]\Rightarrow sin(x+y) = 1[/math]

А если вычесть из 2 уравнения системы 1ое, то получится
[math]\sin{x} \cdot \cos{y} - \cos{x} \cdot \sin{y} = \cos^2{x} - \sin^2{x}[/math]
[math]\Rightarrow sin(x-y) = \cos{2x}[/math]

Тогда эти два полученные уравнения можно объединить в систему:
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& sin(x+y) = 1 \\
& sin(x-y) = \cos{2x}
\end{aligned}\right.[/math]

Не знаю. Что дальше с этим делать.
Понятно, что из первого можно найти сумму [math]x + y = \frac{ \pi }{ 2 } + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}[/math]
Но [math]x[/math] и [math]y[/math] отсюда найти не получается ((
Помогите пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 13:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во втором уравнении системы справа выразить косинус через синус. Затем подумать, когда два синуса равны?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 13:42 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
02 фев 2017, 00:21
Сообщений: 615
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
184 раз в 163 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Перемножь и примени двойной синус, затем выдели общий множитель.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю underline "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 14:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это легко приводится к [math]tg(y)=tg^3(x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 20:58 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 13:00
Сообщений: 84
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Во втором уравнении системы справа выразить косинус через синус. Затем подумать, когда два синуса равны?

Не получается же, здесь мешается единица, квадрат и 2 перед синусом для сравнения синусов
[math]sin(x-y)=\cos{2x}[/math]
[math]\Rightarrow sin(x-y)=1-2\sin^2{x}[/math]

underline писал(а):
Перемножь и примени двойной синус, затем выдели общий множитель.

А как здесь можно применить синус двойного угла, если аргументы разные?
[math](\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y})(\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y} )=\cos{2x}[/math]

Avgust писал(а):
Это легко приводится к [math]tg(y)=tg^3(x)[/math]

Как у вас это получилось? :unknown:
Даже если так, то можно как-нибудь сравнить два тангенса, если справа он в кубе?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 21:20 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А почему бы не выразить у из [math]x + y = \frac{ \pi }{ 2 } + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}[/math], а потом подставить во второе уравнение системы
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& sin(x+y) = 1 \\
& sin(x-y) = \cos{2x}
\end{aligned}\right.[/math]

?

Тогда сразу получим cos2x=0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 21:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Flutt1 писал(а):
Не получается же, здесь мешается единица, квадрат и 2 перед синусом для сравнения синусов

[math]\sin (x-y)=\sin (\pi/2-2x)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 07 апр 2017, 22:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
underline писал(а):
Перемножь и примени двойной синус, затем выдели общий множитель.

Flutt1 писал(а):
А как здесь можно применить синус двойного угла, если аргументы разные?
[math](\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y})(\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y} )=\cos{2x}[/math]

Перемножать нужно исходные уравнения. Ну и домножить на четвёрку обе части, затем двойной синус:
[math]\sin{2x}\sin{2y}=(\sin{2x} )^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 08 апр 2017, 01:31 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 13:00
Сообщений: 84
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
[math]sin(x−y)=sin(π/2−2x)[/math]

Как вы к этому пришли?
venjar писал(а):
А почему бы не выразить у из [math]x + y = \frac{ \pi }{ 2 } + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}[/math], а потом подставить во второе уравнение системы
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& sin(x+y) = 1 \\
& sin(x-y) = \cos{2x}
\end{aligned}\right.[/math]

?

Тогда сразу получим cos2x=0.

У меня так не получается:
[math]y = \frac{ \pi }{ 2 } + 2 \pi n - x[/math]
[math]sin(x-y) = \cos{2x}[/math]
.
[math]sin(2x-\frac{ \pi }{ 2 }) = \cos{2x}[/math]

И по формуле приведения:
[math]\cos{2x} = \cos{2x}[/math]

radix писал(а):
Перемножать нужно исходные уравнения. Ну и домножить на четвёрку обе части, затем двойной синус:
[math]sin2xsin2y=(sin2x)2[/math]

Понятно!
Тогда у меня получается:
[math]\sin{2x}(\sin{2y} - \sin{2x}) = 0[/math]
.
[math]\Rightarrow \left[\!\begin{aligned}
& \sin{2x} = 0 \\
& \sin{2y} = \sin{2x}
\end{aligned}\right.[/math]

.
[math]\Rightarrow x = y = \frac{ \pi }{ 2 }n, n \in \mathbb{Z}[/math]

Но в вольфраме получаются другие корни: https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos(x)*sin(y)%3Dsin%5E2(x)+and+sinx*cosy%3Dcos%5E2(x)
Что я сделал не так? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Система уравнений
СообщениеДобавлено: 08 апр 2017, 03:59 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Flutt1 писал(а):

У меня так не получается:
[math]y = \frac{ \pi }{ 2 } + 2 \pi n - x[/math]
[math]sin(x-y) = \cos{2x}[/math]
.
[math]sin(2x-\frac{ \pi }{ 2 }) = \cos{2x}[/math]

И по формуле приведения:
[math]\cos{2x} = \cos{2x}[/math]



Неверно.

[math]sin(2x-\frac{ \pi }{ 2 }) =-sin(\frac{ \pi }{ 2 }-2x)=- \cos{2x}[/math],
поэтому
[math]-\cos{2x} = \cos{2x}[/math]


[math]\cos{2x} = 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
Flutt1
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система уравнений

в форуме Алгебра

[Alexa]

7

263

09 янв 2022, 19:15

Система уравнений

в форуме Алгебра

Tenken

13

1263

02 авг 2016, 21:40

Система уравнений

в форуме Алгебра

vitlik2409

9

763

08 окт 2014, 22:13

Система уравнений

в форуме Алгебра

ivashenko

20

886

07 май 2016, 00:00

Система уравнений

в форуме Алгебра

neeara

10

485

08 июн 2018, 08:06

Система уравнений

в форуме Maple

Susanna Gaybaryan

1

451

24 май 2021, 07:43

Система уравнений

в форуме Алгебра

uiiiiiii

5

259

22 апр 2020, 17:21

Система уравнений

в форуме Алгебра

DeD

4

638

24 авг 2016, 22:05

Система уравнений

в форуме Алгебра

qwer

1

233

16 янв 2016, 21:52

Система уравнений

в форуме Алгебра

[Alexa]

5

274

29 дек 2021, 20:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved