Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: (sinx)^5+(cosx)^5=1, достаточна ли оценка?
СообщениеДобавлено: 08 мар 2017, 20:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 мар 2017, 23:14
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, пользуясь случаем выражаю благодарность за помощь в прошлый раз.
Задача без комплексных чисел! (я на всякий случай)
К сути дела: уравнение, как я его решал, что я нашёл, - вопросы в конце.

[math](\operatorname{sin}{x})^{5}+(\operatorname{cos}{x})^{5} = 1[/math]

Тленно пытаясь перегруппировать на множители, пришёл, пользуясь основным тригонометрическим свойством к виду:
[math](\operatorname{sin}{x})^{2} \cdot ((\operatorname{sin}{x})^{3})-1)+(\operatorname{cos}{x})^{2} \cdot ((\operatorname{cos}{x})^{3}-1)) = 0[/math]
Мучительно перебирая варианты, сопоставляя равенства исходного выражения, я не пришёл ни к одному толковому результату и залет в гугл, на пятой странице поиска, я нашёл два варианта решения:

[math]\left\{\!\begin{aligned}
& (\operatorname{sin}{x})^{5} + (\operatorname{cos}{x})^{5} <= (\operatorname{sin}{x})^{2} + (\operatorname{cos}{x})^{2} \\
& \operatorname{sin}{x}^5 + \operatorname{cos}{x}^{5} = 1
\end{aligned}\right.[/math]

Примечание к данной системе было такое: "Очевидно, что в этом случае (sinx)^5 = sin(x)^2 и (cosx)^5=(cosx)^2, что приводит к не такому уж и большому варианту перебора корней"

Второй вариант был с тем, что приведённое мной разложение необходимо было проанализировать относительно ситуации, когда (sinx)^2 <= |1| и (cosx)^2 <= |1 |, с комментарием, что "очевидно, в этом случае скобки обращаются в ноль".

Вопросы:

Я ни в одном из этих решений не увидел строгого доказательства того, что таких решений не существует.
1. Являются ли данные методы решения - строгим доказательством отсутствия иных корней? Почему? Я бы хотел знать полное строгое обоснование, у меня не получилось его найти, вывести тоже не удалось (перегруппировывал и складывал системы).
Мне важен не сам ответ, а понимание того, почему данная оценка достаточна
2. Что именно позволяет уверждать, что нет такой пары чисел q^5+t^5 = 1, при этом q^2+t^2=1? Или это утверждение и позволяет это утверждать?
▼ оффтоп
1. Почему система, которая состоит из неравенства, очевидна? В том плане, что я не понимаю какой фактор делает её достаточной, чтобы утверждать, что никаких промежуточных корней в сумме не дадут единицу? Ведь если просто существует два неких числа, пятые степени которых в сумме образуют единицу, тогда эта система возможна.
У меня просто не укладывает, какой конкретно параметр, какой конкретно момент, знак, свойство, или воля божья, заставляет нас отбросить все нецелочисленные корни, и, более того, приравнять синус в пятой, к косинусу в пятой?
2. Второй идеи решения я вообще не понял. Меньше или равно модулю единицы? И что это даёт? Ну, то есть, может быть какое-то иррациональное число, что будет множителем первой скобки, со второй так же иррациональное число, а в скобках будут два других иррациональных числа и они образуют пару, что дают единицу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: (sinx)^5+(cosx)^5=1, достаточна ли оценка?
СообщениеДобавлено: 08 мар 2017, 21:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вам известно, что при возведении в степень больше 1 число, меньшее по модулю единицы, может только уменьшиться (тоже по модулю)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
MaiorPain
 Заголовок сообщения: Re: (sinx)^5+(cosx)^5=1, достаточна ли оценка?
СообщениеДобавлено: 08 мар 2017, 23:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 мар 2017, 23:14
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я чё-т... о самом элементарном и забыл ._.
Стыдоба :cry:

Вопрос снят. Я думал там хитрота какая-то или ещё чё-то...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл от R(cosx,sinx)

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

God_mode_2016

8

215

21 июл 2021, 21:14

Еще один R(cosx,sinx)

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

God_mode_2016

8

219

22 июл 2021, 21:31

Вывести формулу (sinx)'=cosx

в форуме Дифференциальное исчисление

djeak11

8

963

24 янв 2016, 13:46

Ищу решение уравнений вида sinx=x, cosx+x=1

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

mozarelo

7

417

12 фев 2019, 10:04

Y=sinx

в форуме Тригонометрия

erkebullaann

1

261

05 июн 2020, 17:54

F(x)=arcsin(cosx) разложить в ряд фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

nastichka____

3

678

25 ноя 2018, 20:50

Длина линии y=cosx на отрезке

в форуме Интегральное исчисление

Math_girl

4

283

07 ноя 2017, 14:16

Может ли функция cosx быть

в форуме Теория вероятностей

Anudari

1

230

04 дек 2018, 21:32

Найти все корни уравнения cosx*chx=-1

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Atmi

0

127

24 сен 2021, 21:29

2(sinx)^2-5sinx+2<0

в форуме Тригонометрия

Fediono

3

380

29 дек 2018, 16:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved