Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Два теоретических вопроса
СообщениеДобавлено: 25 окт 2016, 21:40 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уважаемые форумчане!

В одном сборнике встретились следующие два задания:
"Синусом числа [math]x[/math] называется число, равное синусу угла в [math]x[/math] радианов. Это определение синуса числа [math]x[/math]. Можно ли было условиться называть синусом числа [math]x[/math] число, равное синусу угла в [math]x[/math] градусов?"
"Правильно ли называть радианное измерение отвлеченным?"

Меня несколько смутили такие вопросы. "Число" это все же не градусы, не знаю, насколько бы это было грамотно.
А что понимать под "отвлеченностью", так совсем неясно. То есть, не относящимся к сути измерения угла? Так ведь радианное измерение наоборот более естественное, чем градусное, ведь так? Или я неверно толкую смысл слова?

Эти вопросы из сборника заданий, там нет теории, так что нет возможности проследить ход мысли автора...поэтому прошу помощи :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два теоретических вопроса
СообщениеДобавлено: 26 окт 2016, 01:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sviatoslav
Есть несколько подходов к определению понятий круговых тригонометрических функций, т.е. понятий синус, косинус, тангенс, котангенс.

Самый элементарный - это определение этих понятий через прямоугольный треугольник.
Синус и косинус определяются как отношение соответствующего катета к гипотенузе, тангенс и котангенс как отношение катетов.
При таком подходе тригонометрические функции определены только для острых углов.
Если мы умеем отмерять углы в градусах, то можно, при таком подходе, строить углы и составить и таблицы синусов, косинусов и т.д. и таким образом, решать и обратную задачу: по значению тригонометрической функции определять сам угол.

Градусная мера не является единственной для измерения углов.
Угол в 1 градус - это угол, дуга которого равна [math]\frac{ 1 }{ 180 }[/math] части дуги развернутого угла. Под дугой понимаем дугу окружности.


Если дугу развернутого угла разбить на 180 равных частей, то получим простой школьный транспортир.

Т.о., измеряя углы транспортиром, мы сравниваем их с углом [math]1^{\circ}[/math].

Сконструируем другую меру измерения углов.
Возьмем окружность радиусом 1ед. длины. Длина этой окружности очевидно равна [math]2 \pi[/math]ед. длины.
Тогда длина дуги развернутого угла равна [math]\pi[/math]ед. длины.

Заметим, что не [math]3,14[/math], а именно [math]\pi[/math]. Число [math]\pi[/math] является иррациональным и не может быть записано никакой рациональной дробью.

Заметим также, что если бы мы хотели построить развернутый угол, отмеряя его дугу, то мы бы не смогли этого сделать.
Но принципиально можно отмерить дугу, длина которой равна радиусу окружности, а в нашем случае [math]1[/math] ед. длины.
Итак, можно построить угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Вот величину этого угла и возьмем за единицу измерения углов. Этот угол и есть угол в 1 радиан.
Тогда полная окружность имеет в себе [math]2 \pi[/math] радиан, развернутый угол - [math]\pi[/math] радиан, прямой угол - [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] радиан т.д..

Радианную меру угла можно определить и без единичной окружности, на окружности любого радиуса. Но окружность единичного радиуса будет замечательна тем,что на ней радианная мера угла будет совпадать по численному значению с длиной соответствующей дуги. И только на ней радианная мера дуги обретает метрический смысл. В[math][/math] то время как на других только относительный.

Теперь надо обобщить понятие угла. Если кратко, то обобщенный угол - это угол поворота.
Полный оборот - [math]2 \pi[/math] радиан, полтора оборота - [math]3 \pi[/math] радиан, 3 оборота - [math]6 \pi[/math] радиан, четверть оборота - [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] радиан, [math]\frac{ 1 }{ 6}[/math] оборота - [math]\frac{ \pi }{ 3 }[/math]радиан и т.д.

Принято измерять углы от оси абсцисс, т. е о точки с координатами [math](1;0)[/math].
Если взять произвольную дугу в [math]x[/math] радиан, то откладывая эту дугу от 0, т.е от точки [math](1;0)[/math], где-то на окружности получим конец дуги точку [math]M(x[/math]радиан[math])[/math].

[math]x[/math] теперь - это с одной стороны число, с другой длина дуги в единицах длины, с третьей - координата точки [math]M(x)[/math] на окружности, а с четвертой - величина угла в радианах.

Теперь можно дать определение круговых тригонометрических функций в общем случае.

Синус - отношение ординаты конца дуги к радиусу окружности.
Косинус - отношение абсциссы конца дуги к радиусу окружности.


В частном случае единичной окружности, радиус равен 1-це, и ордината конца дуги, т.е точки [math]M(x[/math]радиан[math])[/math], будет равна синусу дуги .
А абсцисса конца дуги (точки [math]M(x[/math]радиан[math])[/math]) будет равна косинусу.

В некоторых учебниках последний факт из методических соображений берется за определение синуса и косинуса:

Синус угла - ордината точки единичной окружности, конца дуги этого угла.

Косинус угла - абсцисса точки единичной окружности, конца дуги этого угла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали:
Sviatoslav
 Заголовок сообщения: Re: Два теоретических вопроса
СообщениеДобавлено: 26 окт 2016, 02:34 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sviatoslav писал(а):
"Синусом числа x называется число, равное синусу угла в x радианов.


Это определение есть определение синуса не угла, а синуса абстрактного аргумента [math]x[/math], т.е. по сути элементарной функции [math]\sin{x}[/math].

По этому определению: [math]\sin{x} =\sin{(x}[/math] радиан[math])[/math] , где [math]x=\frac{ x radian }{ 1 radian }[/math] - абстрактный аргумент, т.е. действительное число.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два теоретических вопроса
СообщениеДобавлено: 26 окт 2016, 18:58 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
22 мар 2011, 20:12
Сообщений: 898
Откуда: Сочи
Cпасибо сказано: 484
Спасибо получено:
248 раз в 189 сообщениях
Очков репутации: 105

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole, благодарю Вас за столь развернутую справку, освежил в памяти многие моменты основ тригонометрии. Давно к ним не обращался.
Правильно ли я понимаю, что вполне можно было условиться называть синусом числа [math]x[/math] число, равное синусу угла в [math]x[/math] градусов, но решили условиться иначе, поэтому автор и привел вот такое определение. Кстати, я никогда не встречал такого определения...эта книга 1965 года, возможно, для учебников того времени оно стандартное, не знаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два теоретических вопроса
СообщениеДобавлено: 26 окт 2016, 20:19 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Sviatoslav писал(а):
Правильно ли я понимаю, что вполне можно было условиться называть синусом числа x
число, равное синусу угла в x градусов

Неправильно. Читайте оба моих предыдущих поста еще раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Формулы теоретических частот и приложения

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

iperevalov

2

247

18 май 2017, 06:41

Ответить на два вопроса

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Yadernaya Bomba

5

323

20 май 2022, 16:41

Три вопроса по макроэкономике

в форуме Экономика и Финансы

Albert_

0

296

08 фев 2017, 23:29

Цена вопроса

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

2

503

17 дек 2015, 16:02

2 вопроса по 25 задаче из ОГЭ по физике

в форуме Школьная физика

Coil

2

562

09 янв 2016, 15:00

Средний процент. 2 вопроса

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Kotoff

2

332

13 авг 2020, 10:28

2 вопроса по начальному терверу

в форуме Теория вероятностей

PotterH

3

290

13 янв 2018, 18:38

Два вопроса по математическим обозначениям

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Igor_1982

3

408

06 ноя 2017, 21:13

Три вопроса по Великой Отечественной войне

в форуме Палата №6

searcher

73

1472

09 май 2019, 10:22

Два вопроса о производных неявных функций

в форуме Дифференциальное исчисление

brom

5

335

20 апр 2017, 21:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved