Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Sviatoslav |
|
|
В одном сборнике встретились следующие два задания: "Синусом числа [math]x[/math] называется число, равное синусу угла в [math]x[/math] радианов. Это определение синуса числа [math]x[/math]. Можно ли было условиться называть синусом числа [math]x[/math] число, равное синусу угла в [math]x[/math] градусов?" "Правильно ли называть радианное измерение отвлеченным?" Меня несколько смутили такие вопросы. "Число" это все же не градусы, не знаю, насколько бы это было грамотно. А что понимать под "отвлеченностью", так совсем неясно. То есть, не относящимся к сути измерения угла? Так ведь радианное измерение наоборот более естественное, чем градусное, ведь так? Или я неверно толкую смысл слова? Эти вопросы из сборника заданий, там нет теории, так что нет возможности проследить ход мысли автора...поэтому прошу помощи |
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
Sviatoslav
Есть несколько подходов к определению понятий круговых тригонометрических функций, т.е. понятий синус, косинус, тангенс, котангенс. Самый элементарный - это определение этих понятий через прямоугольный треугольник. Синус и косинус определяются как отношение соответствующего катета к гипотенузе, тангенс и котангенс как отношение катетов. При таком подходе тригонометрические функции определены только для острых углов. Если мы умеем отмерять углы в градусах, то можно, при таком подходе, строить углы и составить и таблицы синусов, косинусов и т.д. и таким образом, решать и обратную задачу: по значению тригонометрической функции определять сам угол. Градусная мера не является единственной для измерения углов. Угол в 1 градус - это угол, дуга которого равна [math]\frac{ 1 }{ 180 }[/math] части дуги развернутого угла. Под дугой понимаем дугу окружности. Если дугу развернутого угла разбить на 180 равных частей, то получим простой школьный транспортир. Т.о., измеряя углы транспортиром, мы сравниваем их с углом [math]1^{\circ}[/math]. Сконструируем другую меру измерения углов. Возьмем окружность радиусом 1ед. длины. Длина этой окружности очевидно равна [math]2 \pi[/math]ед. длины. Тогда длина дуги развернутого угла равна [math]\pi[/math]ед. длины. Заметим, что не [math]3,14[/math], а именно [math]\pi[/math]. Число [math]\pi[/math] является иррациональным и не может быть записано никакой рациональной дробью. Заметим также, что если бы мы хотели построить развернутый угол, отмеряя его дугу, то мы бы не смогли этого сделать. Но принципиально можно отмерить дугу, длина которой равна радиусу окружности, а в нашем случае [math]1[/math] ед. длины. Итак, можно построить угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Вот величину этого угла и возьмем за единицу измерения углов. Этот угол и есть угол в 1 радиан. Тогда полная окружность имеет в себе [math]2 \pi[/math] радиан, развернутый угол - [math]\pi[/math] радиан, прямой угол - [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] радиан т.д.. Радианную меру угла можно определить и без единичной окружности, на окружности любого радиуса. Но окружность единичного радиуса будет замечательна тем,что на ней радианная мера угла будет совпадать по численному значению с длиной соответствующей дуги. И только на ней радианная мера дуги обретает метрический смысл. В[math][/math] то время как на других только относительный. Теперь надо обобщить понятие угла. Если кратко, то обобщенный угол - это угол поворота. Полный оборот - [math]2 \pi[/math] радиан, полтора оборота - [math]3 \pi[/math] радиан, 3 оборота - [math]6 \pi[/math] радиан, четверть оборота - [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] радиан, [math]\frac{ 1 }{ 6}[/math] оборота - [math]\frac{ \pi }{ 3 }[/math]радиан и т.д. Принято измерять углы от оси абсцисс, т. е о точки с координатами [math](1;0)[/math]. Если взять произвольную дугу в [math]x[/math] радиан, то откладывая эту дугу от 0, т.е от точки [math](1;0)[/math], где-то на окружности получим конец дуги точку [math]M(x[/math]радиан[math])[/math]. [math]x[/math] теперь - это с одной стороны число, с другой длина дуги в единицах длины, с третьей - координата точки [math]M(x)[/math] на окружности, а с четвертой - величина угла в радианах. Теперь можно дать определение круговых тригонометрических функций в общем случае. Синус - отношение ординаты конца дуги к радиусу окружности. Косинус - отношение абсциссы конца дуги к радиусу окружности. В частном случае единичной окружности, радиус равен 1-це, и ордината конца дуги, т.е точки [math]M(x[/math]радиан[math])[/math], будет равна синусу дуги . А абсцисса конца дуги (точки [math]M(x[/math]радиан[math])[/math]) будет равна косинусу. В некоторых учебниках последний факт из методических соображений берется за определение синуса и косинуса: Синус угла - ордината точки единичной окружности, конца дуги этого угла. Косинус угла - абсцисса точки единичной окружности, конца дуги этого угла. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали: Sviatoslav |
||
Anatole |
|
|
Sviatoslav писал(а): "Синусом числа x называется число, равное синусу угла в x радианов. Это определение есть определение синуса не угла, а синуса абстрактного аргумента [math]x[/math], т.е. по сути элементарной функции [math]\sin{x}[/math]. По этому определению: [math]\sin{x} =\sin{(x}[/math] радиан[math])[/math] , где [math]x=\frac{ x radian }{ 1 radian }[/math] - абстрактный аргумент, т.е. действительное число. |
||
Вернуться к началу | ||
Sviatoslav |
|
|
Anatole, благодарю Вас за столь развернутую справку, освежил в памяти многие моменты основ тригонометрии. Давно к ним не обращался.
Правильно ли я понимаю, что вполне можно было условиться называть синусом числа [math]x[/math] число, равное синусу угла в [math]x[/math] градусов, но решили условиться иначе, поэтому автор и привел вот такое определение. Кстати, я никогда не встречал такого определения...эта книга 1965 года, возможно, для учебников того времени оно стандартное, не знаю. |
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
Sviatoslav писал(а): Правильно ли я понимаю, что вполне можно было условиться называть синусом числа x число, равное синусу угла в x градусов Неправильно. Читайте оба моих предыдущих поста еще раз. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Формулы теоретических частот и приложения | 2 |
247 |
18 май 2017, 06:41 |
|
Ответить на два вопроса | 5 |
323 |
20 май 2022, 16:41 |
|
Три вопроса по макроэкономике
в форуме Экономика и Финансы |
0 |
296 |
08 фев 2017, 23:29 |
|
Цена вопроса | 2 |
503 |
17 дек 2015, 16:02 |
|
2 вопроса по 25 задаче из ОГЭ по физике
в форуме Школьная физика |
2 |
562 |
09 янв 2016, 15:00 |
|
Средний процент. 2 вопроса | 2 |
332 |
13 авг 2020, 10:28 |
|
2 вопроса по начальному терверу
в форуме Теория вероятностей |
3 |
290 |
13 янв 2018, 18:38 |
|
Два вопроса по математическим обозначениям | 3 |
408 |
06 ноя 2017, 21:13 |
|
Три вопроса по Великой Отечественной войне
в форуме Палата №6 |
73 |
1472 |
09 май 2019, 10:22 |
|
Два вопроса о производных неявных функций
в форуме Дифференциальное исчисление |
5 |
335 |
20 апр 2017, 21:45 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |