Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Cynic_ |
|
|
Исходя из теоремы сложения синуса [math]\sin (\alpha + \beta ) = sin\alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta[/math] можно получить теорему сложения для арксинуса. Именно, положим здесь [math]\alpha = \arcsin x[/math], [math]\beta = \arcsin y[/math] (где [math]x[/math] и [math]y[/math] лежат между -1 и +1); тогда [math]\sin \alpha = x,\sin \beta = y[/math], а [math]\cos \alpha = \sqrt {1 - {x^2}} ,\cos \beta = \sqrt {1 - {y^2}}[/math], причем корни берутся со знаком плюс, так как углы [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math], по характерному свойству главного значения арксинуса, лежат между [math]-\frac{\pi }{2}[/math] и [math]\frac{\pi }{2}[/math], так что косинусы их положительны. Итак, [math]\sin (\alpha + \beta ) = x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}}[/math] откуда [math]\alpha + \beta = \arcsin x + \arcsin y = Arc\sin (x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} )[/math] Формула может быть написана проще: [math]\arcsin x + \arcsin y = arc\sin (x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} )[/math] лишь в том случае, если и [math]\alpha + \beta[/math] не выходит из промежутка [math]\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right][/math]. Это условие автоматически выполняется, если аргументы [math]x[/math] и [math]y[/math] (а с ними [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math]) имеют различные знаки. В случае же одинаковых знаков высказанное условие, как легко видеть, равносильно такому: [math]{x^2} + {y^2} \leqslant 1[/math] Решил вывести неравенство [math]{x^2} + {y^2} \leqslant 1[/math] сам: Возьмем для определенности [math]x > 0[/math], [math]y > 0[/math]. Т.к. [math]- \frac{\pi }{2} \leqslant \alpha + \beta \leqslant \frac{\pi }{2}[/math] и [math]x > 0[/math], [math]y > 0[/math], то [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] принадлежат первой четверти. Для случая [math]\alpha + \beta \leqslant \frac{\pi }{2}[/math] получается: [math]\alpha \leqslant \frac{\pi }{2} - \beta[/math] [math]\sin \alpha \leqslant \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \beta } \right) = \cos \beta = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta }[/math] [math]{\sin ^2}\alpha \leqslant 1 - {\sin ^2}\beta[/math] [math]{\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta \leqslant 1[/math] [math]{x^2} + {y^2} \leqslant 1[/math] А вот для случая [math]- \frac{\pi }{2} \leqslant \alpha + \beta[/math] чего то так не получается: [math]\alpha \geqslant - \frac{\pi }{2} - \beta[/math] [math]\sin \alpha \geqslant \sin \left( { - \left( {\frac{\pi }{2} + \beta } \right)} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \beta } \right) = - \cos \beta = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta }[/math] Вот в этом месте не пойму чего делать. Тут уже возводить обе части в квадрат нельзя. |
||
Вернуться к началу | ||
Cynic_ |
|
|
А понял, речь то идет о первой четверти. Следовательно второе неравенство всегда выполняется.
Просьба проверить ни где я далее не ошибся: Теперь берем [math]x < 0[/math] и [math]y < 0[/math], следовательно [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] принадлежат четвертой четверти и неравенство [math]\alpha + \beta \leqslant \frac{\pi }{2}[/math] всегда выполняется. Рассмотрим теперь неравенство [math]\alpha + \beta \geqslant -\frac{\pi }{2}[/math]: [math]\alpha \geqslant - \frac{\pi }{2} - \beta[/math], поскольку синус возрастает, то [math]\sin \alpha \geqslant \sin \left( { - \frac{\pi }{2} - \beta } \right) = - \cos \beta = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta }[/math] Поскольку значения синуса относятся к четвертой четверти где синус меньше нуля, то из [math]\sin \alpha \geqslant \sin \left( { - \frac{\pi }{2} - \beta } \right)[/math] следует, что [math]\left| {\sin \alpha } \right| \leqslant \left| {\sin \left( { - \frac{\pi }{2} - \beta } \right)} \right| = \left| {\sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta } } \right|[/math], а следовательно [math]{\sin ^2}\alpha \leqslant 1 - {\sin ^2}\beta[/math] [math]{\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta \leqslant 1[/math] [math]{x^2} + {y^2} \leqslant 1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вывести ряд
в форуме Ряды |
3 |
202 |
24 мар 2020, 21:19 |
|
Вывести tg a
в форуме Тригонометрия |
4 |
491 |
27 апр 2016, 17:55 |
|
Как вывести, что (A+B)(A+C) = A + BC?
в форуме Теория вероятностей |
1 |
229 |
08 дек 2017, 22:14 |
|
Вывести формулу
в форуме Геометрия |
51 |
1930 |
09 янв 2016, 00:04 |
|
Вывести зависимость | 3 |
293 |
11 дек 2020, 16:19 |
|
Вывести неизвестную?
в форуме Алгебра |
12 |
277 |
22 ноя 2020, 10:28 |
|
Вывести уровнения | 2 |
355 |
06 апр 2016, 13:47 |
|
Вывести формулу
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
1 |
491 |
28 апр 2015, 06:35 |
|
Вывести формулу
в форуме Объявления участников Форума |
13 |
747 |
22 ноя 2018, 15:23 |
|
Вывести формулу
в форуме Алгебра |
0 |
511 |
02 янв 2018, 16:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |