Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вывести неравенство
СообщениеДобавлено: 21 апр 2016, 14:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 окт 2015, 17:52
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Читаю Фихтенгольца, там он в разделе "Понятие об обратной функции" пишет:
Исходя из теоремы сложения синуса [math]\sin (\alpha + \beta ) = sin\alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta[/math] можно получить теорему сложения для арксинуса. Именно, положим здесь [math]\alpha = \arcsin x[/math], [math]\beta = \arcsin y[/math] (где [math]x[/math] и [math]y[/math] лежат между -1 и +1); тогда [math]\sin \alpha = x,\sin \beta = y[/math], а [math]\cos \alpha = \sqrt {1 - {x^2}} ,\cos \beta = \sqrt {1 - {y^2}}[/math], причем корни берутся со знаком плюс, так как углы [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math], по характерному свойству главного значения арксинуса, лежат между [math]-\frac{\pi }{2}[/math] и [math]\frac{\pi }{2}[/math], так что косинусы их положительны.
Итак,
[math]\sin (\alpha + \beta ) = x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}}[/math]
откуда
[math]\alpha + \beta = \arcsin x + \arcsin y = Arc\sin (x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} )[/math]
Формула может быть написана проще:
[math]\arcsin x + \arcsin y = arc\sin (x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} )[/math]
лишь в том случае, если и [math]\alpha + \beta[/math] не выходит из промежутка [math]\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right][/math]. Это условие автоматически выполняется, если аргументы [math]x[/math] и [math]y[/math] (а с ними [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math]) имеют различные знаки. В случае же одинаковых знаков высказанное условие, как легко видеть, равносильно такому: [math]{x^2} + {y^2} \leqslant 1[/math]

Решил вывести неравенство [math]{x^2} + {y^2} \leqslant 1[/math] сам:

Возьмем для определенности [math]x > 0[/math], [math]y > 0[/math]. Т.к. [math]- \frac{\pi }{2} \leqslant \alpha + \beta \leqslant \frac{\pi }{2}[/math] и [math]x > 0[/math], [math]y > 0[/math], то [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] принадлежат первой четверти.
Для случая [math]\alpha + \beta \leqslant \frac{\pi }{2}[/math] получается:

[math]\alpha \leqslant \frac{\pi }{2} - \beta[/math]
[math]\sin \alpha \leqslant \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \beta } \right) = \cos \beta = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta }[/math]
[math]{\sin ^2}\alpha \leqslant 1 - {\sin ^2}\beta[/math]
[math]{\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta \leqslant 1[/math]
[math]{x^2} + {y^2} \leqslant 1[/math]

А вот для случая [math]- \frac{\pi }{2} \leqslant \alpha + \beta[/math] чего то так не получается:

[math]\alpha \geqslant - \frac{\pi }{2} - \beta[/math]
[math]\sin \alpha \geqslant \sin \left( { - \left( {\frac{\pi }{2} + \beta } \right)} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \beta } \right) = - \cos \beta = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta }[/math]

Вот в этом месте не пойму чего делать. Тут уже возводить обе части в квадрат нельзя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вывести неравенство
СообщениеДобавлено: 21 апр 2016, 14:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 окт 2015, 17:52
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А понял, речь то идет о первой четверти. Следовательно второе неравенство всегда выполняется.

Просьба проверить ни где я далее не ошибся:

Теперь берем [math]x < 0[/math] и [math]y < 0[/math], следовательно [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] принадлежат четвертой четверти и неравенство [math]\alpha + \beta \leqslant \frac{\pi }{2}[/math] всегда выполняется. Рассмотрим теперь неравенство [math]\alpha + \beta \geqslant -\frac{\pi }{2}[/math]:

[math]\alpha \geqslant - \frac{\pi }{2} - \beta[/math], поскольку синус возрастает, то
[math]\sin \alpha \geqslant \sin \left( { - \frac{\pi }{2} - \beta } \right) = - \cos \beta = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta }[/math]
Поскольку значения синуса относятся к четвертой четверти где синус меньше нуля, то из [math]\sin \alpha \geqslant \sin \left( { - \frac{\pi }{2} - \beta } \right)[/math] следует, что [math]\left| {\sin \alpha } \right| \leqslant \left| {\sin \left( { - \frac{\pi }{2} - \beta } \right)} \right| = \left| {\sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta } } \right|[/math], а следовательно
[math]{\sin ^2}\alpha \leqslant 1 - {\sin ^2}\beta[/math]

[math]{\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta \leqslant 1[/math]

[math]{x^2} + {y^2} \leqslant 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вывести ряд

в форуме Ряды

Rail

3

202

24 мар 2020, 21:19

Вывести tg a

в форуме Тригонометрия

kolya621

4

491

27 апр 2016, 17:55

Как вывести, что (A+B)(A+C) = A + BC?

в форуме Теория вероятностей

alekscooper

1

229

08 дек 2017, 22:14

Вывести формулу

в форуме Геометрия

Anton43

51

1930

09 янв 2016, 00:04

Вывести зависимость

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Lerw

3

293

11 дек 2020, 16:19

Вывести неизвестную?

в форуме Алгебра

NikName0101

12

277

22 ноя 2020, 10:28

Вывести уровнения

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Azaza

2

355

06 апр 2016, 13:47

Вывести формулу

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Serdvik

1

491

28 апр 2015, 06:35

Вывести формулу

в форуме Объявления участников Форума

Oli17

13

747

22 ноя 2018, 15:23

Вывести формулу

в форуме Алгебра

Dvoechnik2018

0

511

02 янв 2018, 16:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved