Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
kucher |
|
|
[math]y=(\frac{1}{5}sin5x+\frac{1}{5}cos5x)^{2}[/math] равна подскажите с чего начать |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Надо раскрыть скобки и воспользоваться тождеством [math]{\cos ^2}\alpha +{\sin ^2}\alpha = 1.[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: kucher |
||
michel |
|
|
Можно ещё воспользоваться формулой: [math]sin \alpha +cos \alpha =\sqrt{2}sin(\alpha+\frac{ \pi }{ 4 } )[/math]. Тогда после возведения в квадрат получаем [math]min=0[/math] и [math]max=\frac {2}{25}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: kucher |
||
kucher |
|
|
как к этому виду привести я разобрался
[math]\frac{1}{25}sin^{2}5x+2*\frac{1}{5}sin5x\frac{1}{5}cos5x+\frac{1}{25}cos^{2}5x[/math] [math]\frac{1}{25}(1+2sin5xcos5x)[/math] скажите, обязательно ли через производную находить min и max ? каким наиболее простым способом рассчитать min max ? |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
kucher писал(а): каким наиболее простым способом рассчитать min max ? Воспользуйтесь тождеством [math]2\sin \alpha \cos \alpha = \sin \left({2\alpha}\right)[/math] и тем, что синус принимает значения от -1 до +1. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: kucher |
||
shakird74 |
|
|
y=sinx в точке x[math]_{0}[/math] = e найти производную функции
|
||
Вернуться к началу | ||
Anatole |
|
|
Li6-D, мне кажется у этой задачи должно быть еще какое-нибудь решение, например, геометрическое
|
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Anatole, согласен. Вот еще один способ решения.
Два вектора длины [math]\frac{1}{5}[/math] расположены на плоскости под углом 90° друг к другу. Данная функция эквивалентна квадрату суммы проекций векторов на некоторую ось. Сумма проекций равна проекции суммы векторов. По правилам сложения векторов их сумма является вектором длины [math]\frac{{\sqrt 2}}{5}[/math] (диагональ квадрата). Квадрат проекции вектора не может быть меньше нуля (при этом результирующий вектор перпендикулярен оси) и больше [math]\frac{2}{{25}}[/math] (вектор коллинеарен оси). Этот способ можно распространить, например, на задачу с вот такой функцией двух переменных: [math]y={\left( {a \cdot \sin \alpha + b \cdot \cos \alpha \sin \beta + c \cdot \cos \alpha \cos \beta } \right)^2}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Anatole |
||
Anatole |
|
|
[math]\frac{ 1 }{ 5 }[/math] полезно вынести за скобки.
Тогда имеем в скобках сумму синуса и косинуса в квадрате. Максимум квадрата достигается при максимуме суммы, что геометрически эквивалентно максимальному периметру прямоугольника, вписанного в единичную окружность, коим является квадрат. Отсюда следует, что слагаемые, доставляющие максимум - равны. Т.е. сумма равна [math]\sqrt{2}[/math]. Ну, а дальше все ясно Li6-D писал(а): Этот способ можно распространить, например, на задачу с вот такой функцией двух переменных Li6-D, если будет время поясните, я, честно говоря, не достиг Вашей меры |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
Prokop |
|
|
Внесу свои пять копеек.
Можно использовать неравенство Коши-Буняковского [math]{\left({\sum\limits_{k = 1}^n{{a_k}{b_k}}}\right)^2}\leqslant \left({\sum\limits_{k = 1}^n{{a_k}^2}}\right)\left({\sum\limits_{k = 1}^n{{b_k}^2}}\right)[/math] , которое обращается в равенство, если координаты векторов [math]\overline a = \left({{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}}\right)[/math] и [math]\overline b = \left({{b_1},{b_2}, \ldots ,{b_n}}\right)[/math] пропорциональны (векторы коллинеарны). Тогда [math]{\left({\frac{1}{5}\sin 5x + \frac{1}{5}\cos 5x}\right)^2}\leqslant \left({\frac{1}{{25}}+ \frac{1}{{25}}}\right)\left({{{\sin}^2}5x +{{\cos}^2}5x}\right) = \frac{2}{{25}}[/math]. Аналогично [math]{\left({a\sin \alpha + b\cos \alpha \sin \beta + c\cos \alpha \cos \beta}\right)^2}\leqslant \left({{a^2}+{{\left({b\sin \beta + c\cos \beta}\right)}^2}}\right)\left({{{\sin}^2}\alpha +{{\cos}^2}\alpha}\right) \leqslant{a^2}+ \left({{b^2}+{c^2}}\right)\left({{{\sin}^2}\beta +{{\cos}^2}\beta}\right)[/math] и различные обобщения на многомерный случай. Здесь неравенства точные, т.е. превращаются в равенства при надлежащем выборе углов. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Anatole, Li6-D |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Обсуждение. Функция стоимости, функция градиентного спуска
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
152 |
06 май 2021, 15:24 |
|
Функция Коши и функция Грина | 2 |
697 |
21 июн 2016, 16:26 |
|
Функция
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
12 |
926 |
30 июн 2015, 00:21 |
|
Функция
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
0 |
270 |
07 дек 2014, 15:13 |
|
Функция
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
6 |
479 |
18 ноя 2017, 21:02 |
|
Функция
в форуме Тригонометрия |
3 |
391 |
11 дек 2016, 23:19 |
|
Функция
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
403 |
22 июл 2015, 11:22 |
|
Функция
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
3 |
439 |
22 авг 2015, 09:16 |
|
Функция y(x)
в форуме Алгебра |
6 |
300 |
23 сен 2022, 14:10 |
|
Функция
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
2 |
384 |
04 июл 2015, 01:30 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |